Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3535 / 4592
↖ ↑ ↗
← N 78.098296°
W141.163330°		 ← 251.93 m → N 78.098296°
W141.152344°		 →
↑
251.97 m
↓
↑
251.97 m
↓
N 78.096030°
W141.163330°		 ← 251.98 m →
63 485 m²		 N 78.096030°
W141.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107894897460938 y=0.140151977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107894897460938 × 215)
    floor (0.107894897460938 × 32768)
    floor (3535.5)     		tx = 3535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140151977539062 × 215)
    floor (0.140151977539062 × 32768)
    floor (4592.5)     		ty = 4592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3535 / 4592 ti = "15/3535/4592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3535/4592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3535 ÷ 215
    3535 ÷ 32768     		x = 0.107879638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4592 ÷ 215
    4592 ÷ 32768     		y = 0.14013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107879638671875 × 2 - 1) × π
    -0.78424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46376489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14013671875 × 2 - 1) × π
    0.7197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26108768127881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46376489} λ = -2.46376489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26108768127881))-π/2
    2×atan(9.59351818413953)-π/2
    2×1.46693436259142-π/2
    2.93386872518284-1.57079632675     		φ = 1.36307240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46376489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36307240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.098296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3535 KachelY 4592 -2.46376489 1.36307240 -141.163330 78.098296
    Oben rechts KachelX + 1 3536 KachelY 4592 -2.46357315 1.36307240 -141.152344 78.098296
    Unten links KachelX 3535 KachelY + 1 4593 -2.46376489 1.36303285 -141.163330 78.096030
    Unten rechts KachelX + 1 3536 KachelY + 1 4593 -2.46357315 1.36303285 -141.152344 78.096030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36307240-1.36303285) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dl = 251.973050000703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36307240-1.36303285) × R
    3.95500000001103e-05 × 6371000     		dr = 251.973050000703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46376489--2.46357315) × cos(1.36307240) × R
    0.000191739999999996 × 0.206233291845377 × 6371000     		do = 251.929544851988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46376489--2.46357315) × cos(1.36303285) × R
    0.000191739999999996 × 0.206271991471827 × 6371000     		du = 251.976819369067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36307240)-sin(1.36303285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206233291845377-0.206271991471827)×R²
    abs(-2.46357315--2.46376489)×3.86996264501172e-05×R²
    0.000191739999999996×3.86996264501172e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.86996264501172e-05×40589641000000     		ar = 63485.4117619567m²