Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35349 / 47955
↖ ↑ ↗
← S 63.750920°
E 14.177857°		 ← 270.14 m → S 63.750920°
E 14.183350°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
S 63.753350°
E 14.177857°		 ← 270.11 m →
72 969 m²		 S 63.753350°
E 14.183350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539390563964844 y=0.731742858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539390563964844 × 216)
    floor (0.539390563964844 × 65536)
    floor (35349.5)     		tx = 35349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731742858886719 × 216)
    floor (0.731742858886719 × 65536)
    floor (47955.5)     		ty = 47955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35349 / 47955 ti = "16/35349/47955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35349/47955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35349 ÷ 216
    35349 ÷ 65536     		x = 0.539382934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47955 ÷ 216
    47955 ÷ 65536     		y = 0.731735229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539382934570312 × 2 - 1) × π
    0.078765869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24745028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731735229492188 × 2 - 1) × π
    -0.463470458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45603538905959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24745028} λ = 0.24745028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45603538905959))-π/2
    2×atan(0.233158828780853)-π/2
    2×0.229066432580758-π/2
    0.458132865161515-1.57079632675     		φ = -1.11266346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24745028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.177857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11266346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.750920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35349 KachelY 47955 0.24745028 -1.11266346 14.177857 -63.750920
    Oben rechts KachelX + 1 35350 KachelY 47955 0.24754615 -1.11266346 14.183350 -63.750920
    Unten links KachelX 35349 KachelY + 1 47956 0.24745028 -1.11270586 14.177857 -63.753350
    Unten rechts KachelX + 1 35350 KachelY + 1 47956 0.24754615 -1.11270586 14.183350 -63.753350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11266346--1.11270586) × R
    4.2399999999887e-05 × 6371000     		dl = 270.13039999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11266346--1.11270586) × R
    4.2399999999887e-05 × 6371000     		dr = 270.13039999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24745028-0.24754615) × cos(-1.11266346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.442274284723265 × 6371000     		do = 270.135724094462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24745028-0.24754615) × cos(-1.11270586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44223625662028 × 6371000     		du = 270.112496994243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11266346)-sin(-1.11270586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442274284723265-0.44223625662028)×R²
    abs(0.24754615-0.24745028)×3.80281029846441e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80281029846441e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80281029846441e-05×40589641000000     		ar = 72968.7340419796m²