Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35349 / 101899
↖ ↑ ↗
← S 70.150626°
W 82.911072°		 ← 103.71 m → S 70.150626°
W 82.908325°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.151558°
W 82.911072°		 ← 103.70 m →
10 750 m²		 S 70.151558°
W 82.908325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269695281982422 y=0.777431488037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269695281982422 × 217)
    floor (0.269695281982422 × 131072)
    floor (35349.5)     		tx = 35349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777431488037109 × 217)
    floor (0.777431488037109 × 131072)
    floor (101899.5)     		ty = 101899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35349 / 101899 ti = "17/35349/101899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35349/101899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35349 ÷ 217
    35349 ÷ 131072     		x = 0.269691467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101899 ÷ 217
    101899 ÷ 131072     		y = 0.777427673339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269691467285156 × 2 - 1) × π
    -0.460617065429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.44707119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777427673339844 × 2 - 1) × π
    -0.554855346679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7431294808841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44707119} λ = -1.44707119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7431294808841))-π/2
    2×atan(0.174971971475347)-π/2
    2×0.173218470665303-π/2
    0.346436941330605-1.57079632675     		φ = -1.22435939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44707119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.911072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22435939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.150626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35349 KachelY 101899 -1.44707119 -1.22435939 -82.911072 -70.150626
    Oben rechts KachelX + 1 35350 KachelY 101899 -1.44702325 -1.22435939 -82.908325 -70.150626
    Unten links KachelX 35349 KachelY + 1 101900 -1.44707119 -1.22437566 -82.911072 -70.151558
    Unten rechts KachelX + 1 35350 KachelY + 1 101900 -1.44702325 -1.22437566 -82.908325 -70.151558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22435939--1.22437566) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22435939--1.22437566) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44707119--1.44702325) × cos(-1.22435939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339548593575008 × 6371000     		do = 103.706880458538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44707119--1.44702325) × cos(-1.22437566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339533290154945 × 6371000     		du = 103.702206400141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22435939)-sin(-1.22437566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339548593575008-0.339533290154945)×R²
    abs(-1.44702325--1.44707119)×1.53034200628954e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53034200628954e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53034200628954e-05×40589641000000     		ar = 10749.6157838459m²