Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35345 / 103056
↖ ↑ ↗
← S 71.201920°
W 82.922058°		 ← 98.42 m → S 71.201920°
W 82.919312°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 71.202805°
W 82.922058°		 ← 98.41 m →
9 687 m²		 S 71.202805°
W 82.919312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269664764404297 y=0.786258697509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269664764404297 × 217)
    floor (0.269664764404297 × 131072)
    floor (35345.5)     		tx = 35345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786258697509766 × 217)
    floor (0.786258697509766 × 131072)
    floor (103056.5)     		ty = 103056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35345 / 103056 ti = "17/35345/103056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35345/103056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35345 ÷ 217
    35345 ÷ 131072     		x = 0.269660949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103056 ÷ 217
    103056 ÷ 131072     		y = 0.7862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269660949707031 × 2 - 1) × π
    -0.460678100585938 × 3.1415926535     		Λ = -1.44726294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44726294} λ = -1.44726294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79859247374451))-π/2
    2×atan(0.165531714562918)-π/2
    2×0.164044196865544-π/2
    0.328088393731089-1.57079632675     		φ = -1.24270793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44726294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.922058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24270793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.201920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35345 KachelY 103056 -1.44726294 -1.24270793 -82.922058 -71.201920
    Oben rechts KachelX + 1 35346 KachelY 103056 -1.44721500 -1.24270793 -82.919312 -71.201920
    Unten links KachelX 35345 KachelY + 1 103057 -1.44726294 -1.24272338 -82.922058 -71.202805
    Unten rechts KachelX + 1 35346 KachelY + 1 103057 -1.44721500 -1.24272338 -82.919312 -71.202805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24270793--1.24272338) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24270793--1.24272338) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44726294--1.44721500) × cos(-1.24270793) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322233979857054 × 6371000     		do = 98.418551751377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44726294--1.44721500) × cos(-1.24272338) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322219353920725 × 6371000     		du = 98.4140846139506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24270793)-sin(-1.24272338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322233979857054-0.322219353920725)×R²
    abs(-1.44721500--1.44726294)×1.46259363285606e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46259363285606e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46259363285606e-05×40589641000000     		ar = 9687.3101107289m²