Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35344 / 103055
↖ ↑ ↗
← S 71.201035°
W 82.924804°		 ← 98.40 m → S 71.201035°
W 82.922058°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.201920°
W 82.924804°		 ← 98.40 m →
9 679 m²		 S 71.201920°
W 82.922058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269657135009766 y=0.786251068115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269657135009766 × 217)
    floor (0.269657135009766 × 131072)
    floor (35344.5)     		tx = 35344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786251068115234 × 217)
    floor (0.786251068115234 × 131072)
    floor (103055.5)     		ty = 103055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35344 / 103055 ti = "17/35344/103055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35344/103055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35344 ÷ 217
    35344 ÷ 131072     		x = 0.2696533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103055 ÷ 217
    103055 ÷ 131072     		y = 0.786247253417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.460693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44731087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786247253417969 × 2 - 1) × π
    -0.572494506835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79854453684489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44731087} λ = -1.44731087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79854453684489))-π/2
    2×atan(0.165539649830298)-π/2
    2×0.164051920489695-π/2
    0.32810384097939-1.57079632675     		φ = -1.24269249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44731087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.924804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24269249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.201035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35344 KachelY 103055 -1.44731087 -1.24269249 -82.924804 -71.201035
    Oben rechts KachelX + 1 35345 KachelY 103055 -1.44726294 -1.24269249 -82.922058 -71.201035
    Unten links KachelX 35344 KachelY + 1 103056 -1.44731087 -1.24270793 -82.924804 -71.201920
    Unten rechts KachelX + 1 35345 KachelY + 1 103056 -1.44726294 -1.24270793 -82.922058 -71.201920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24269249--1.24270793) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24269249--1.24270793) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44731087--1.44726294) × cos(-1.24269249) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.322248596249913 × 6371000     		do = 98.4024855151282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44731087--1.44726294) × cos(-1.24270793) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.322233979857054 × 6371000     		du = 98.3980222237334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24269249)-sin(-1.24270793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322248596249913-0.322233979857054)×R²
    abs(-1.44726294--1.44731087)×1.46163928595455e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.46163928595455e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.46163928595455e-05×40589641000000     		ar = 9679.45978880646m²