Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35343 / 48177
↖ ↑ ↗
← S 64.285143°
E 14.144897°		 ← 265.04 m → S 64.285143°
E 14.150391°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
S 64.287526°
E 14.144897°		 ← 265.02 m →
70 226 m²		 S 64.287526°
E 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539299011230469 y=0.735130310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539299011230469 × 216)
    floor (0.539299011230469 × 65536)
    floor (35343.5)     		tx = 35343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735130310058594 × 216)
    floor (0.735130310058594 × 65536)
    floor (48177.5)     		ty = 48177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35343 / 48177 ti = "16/35343/48177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35343/48177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35343 ÷ 216
    35343 ÷ 65536     		x = 0.539291381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48177 ÷ 216
    48177 ÷ 65536     		y = 0.735122680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539291381835938 × 2 - 1) × π
    0.078582763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24687503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735122680664062 × 2 - 1) × π
    -0.470245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47731937249089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24687503} λ = 0.24687503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47731937249089))-π/2
    2×atan(0.228248718840036)-π/2
    2×0.224404460018724-π/2
    0.448808920037448-1.57079632675     		φ = -1.12198741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24687503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.144897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12198741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.285143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35343 KachelY 48177 0.24687503 -1.12198741 14.144897 -64.285143
    Oben rechts KachelX + 1 35344 KachelY 48177 0.24697091 -1.12198741 14.150391 -64.285143
    Unten links KachelX 35343 KachelY + 1 48178 0.24687503 -1.12202900 14.144897 -64.287526
    Unten rechts KachelX + 1 35344 KachelY + 1 48178 0.24697091 -1.12202900 14.150391 -64.287526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12198741--1.12202900) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dl = 264.969889999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12198741--1.12202900) × R
    4.15899999999247e-05 × 6371000     		dr = 264.969889999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24687503-0.24697091) × cos(-1.12198741) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.433892718405883 × 6371000     		do = 265.044009199436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24687503-0.24697091) × cos(-1.12202900) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.433855246915265 × 6371000     		du = 265.021119683935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12198741)-sin(-1.12202900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433892718405883-0.433855246915265)×R²
    abs(0.24697091-0.24687503)×3.74714906177243e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.74714906177243e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74714906177243e-05×40589641000000     		ar = 70225.6494564796m²