Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3534 / 2607
↖ ↑ ↗
← N 76.603637°
W102.348633°		 ← 566.07 m → N 76.603637°
W102.326660°		 →
↑
566.19 m
↓
↑
566.19 m
↓
N 76.598545°
W102.348633°		 ← 566.29 m →
320 566 m²		 N 76.598545°
W102.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215728759765625 y=0.159149169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215728759765625 × 214)
    floor (0.215728759765625 × 16384)
    floor (3534.5)     		tx = 3534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159149169921875 × 214)
    floor (0.159149169921875 × 16384)
    floor (2607.5)     		ty = 2607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3534 / 2607 ti = "14/3534/2607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3534/2607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3534 ÷ 214
    3534 ÷ 16384     		x = 0.2156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2607 ÷ 214
    2607 ÷ 16384     		y = 0.15911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.78632063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15911865234375 × 2 - 1) × π
    0.6817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.14182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78632063} λ = -1.78632063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14182067502411))-π/2
    2×atan(8.51492643846178)-π/2
    2×1.45389100378709-π/2
    2.90778200757418-1.57079632675     		φ = 1.33698568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78632063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33698568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.603637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3534 KachelY 2607 -1.78632063 1.33698568 -102.348633 76.603637
    Oben rechts KachelX + 1 3535 KachelY 2607 -1.78593713 1.33698568 -102.326660 76.603637
    Unten links KachelX 3534 KachelY + 1 2608 -1.78632063 1.33689681 -102.348633 76.598545
    Unten rechts KachelX + 1 3535 KachelY + 1 2608 -1.78593713 1.33689681 -102.326660 76.598545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33698568-1.33689681) × R
    8.88699999999076e-05 × 6371000     		dl = 566.190769999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33698568-1.33689681) × R
    8.88699999999076e-05 × 6371000     		dr = 566.190769999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78632063--1.78593713) × cos(1.33698568) × R
    0.000383500000000092 × 0.23168615805095 × 6371000     		do = 566.073808713623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78632063--1.78593713) × cos(1.33689681) × R
    0.000383500000000092 × 0.231772609035297 × 6371000     		du = 566.285032544984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33698568)-sin(1.33689681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23168615805095-0.231772609035297)×R²
    abs(-1.78593713--1.78632063)×8.64509843476191e-05×R²
    0.000383500000000092×8.64509843476191e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.64509843476191e-05×40589641000000     		ar = 320565.562333612m²