Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35336 / 103065
↖ ↑ ↗
← S 71.209884°
W 82.946777°		 ← 98.38 m → S 71.209884°
W 82.944031°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.210768°
W 82.946777°		 ← 98.37 m →
9 677 m²		 S 71.210768°
W 82.944031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269596099853516 y=0.786327362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269596099853516 × 217)
    floor (0.269596099853516 × 131072)
    floor (35336.5)     		tx = 35336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786327362060547 × 217)
    floor (0.786327362060547 × 131072)
    floor (103065.5)     		ty = 103065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35336 / 103065 ti = "17/35336/103065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35336/103065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35336 ÷ 217
    35336 ÷ 131072     		x = 0.26959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103065 ÷ 217
    103065 ÷ 131072     		y = 0.786323547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.4608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.44769437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786323547363281 × 2 - 1) × π
    -0.572647094726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.79902390584109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44769437} λ = -1.44769437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79902390584109))-π/2
    2×atan(0.16546031427155)-π/2
    2×0.163974700018535-π/2
    0.32794940003707-1.57079632675     		φ = -1.24284693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44769437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24284693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.209884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35336 KachelY 103065 -1.44769437 -1.24284693 -82.946777 -71.209884
    Oben rechts KachelX + 1 35337 KachelY 103065 -1.44764643 -1.24284693 -82.944031 -71.209884
    Unten links KachelX 35336 KachelY + 1 103066 -1.44769437 -1.24286237 -82.946777 -71.210768
    Unten rechts KachelX + 1 35337 KachelY + 1 103066 -1.44764643 -1.24286237 -82.944031 -71.210768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24284693--1.24286237) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24284693--1.24286237) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44769437--1.44764643) × cos(-1.24284693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322102390996708 × 6371000     		do = 98.3783611258743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44769437--1.44764643) × cos(-1.24286237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322087773835621 × 6371000     		du = 98.3738966686326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24284693)-sin(-1.24286237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322102390996708-0.322087773835621)×R²
    abs(-1.44764643--1.44769437)×1.46171610870827e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46171610870827e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46171610870827e-05×40589641000000     		ar = 9677.086657768m²