Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35333 / 47879
↖ ↑ ↗
← S 63.565675°
E 14.089966°		 ← 271.91 m → S 63.565675°
E 14.095459°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
S 63.568120°
E 14.089966°		 ← 271.88 m →
73 932 m²		 S 63.568120°
E 14.095459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539146423339844 y=0.730583190917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539146423339844 × 216)
    floor (0.539146423339844 × 65536)
    floor (35333.5)     		tx = 35333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730583190917969 × 216)
    floor (0.730583190917969 × 65536)
    floor (47879.5)     		ty = 47879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35333 / 47879 ti = "16/35333/47879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35333/47879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35333 ÷ 216
    35333 ÷ 65536     		x = 0.539138793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47879 ÷ 216
    47879 ÷ 65536     		y = 0.730575561523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539138793945312 × 2 - 1) × π
    0.078277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24591630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730575561523438 × 2 - 1) × π
    -0.461151123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44874898031734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24591630} λ = 0.24591630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44874898031734))-π/2
    2×atan(0.234863923774883)-π/2
    2×0.23068300179366-π/2
    0.46136600358732-1.57079632675     		φ = -1.10943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24591630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.089966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.565675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35333 KachelY 47879 0.24591630 -1.10943032 14.089966 -63.565675
    Oben rechts KachelX + 1 35334 KachelY 47879 0.24601217 -1.10943032 14.095459 -63.565675
    Unten links KachelX 35333 KachelY + 1 47880 0.24591630 -1.10947300 14.089966 -63.568120
    Unten rechts KachelX + 1 35334 KachelY + 1 47880 0.24601217 -1.10947300 14.095459 -63.568120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10943032--1.10947300) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10943032--1.10947300) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24591630-0.24601217) × cos(-1.10943032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445171706187187 × 6371000     		do = 271.905433689161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24591630-0.24601217) × cos(-1.10947300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.445133488179513 × 6371000     		du = 271.88209059748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10943032)-sin(-1.10947300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445171706187187-0.445133488179513)×R²
    abs(0.24601217-0.24591630)×3.82180076745064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82180076745064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82180076745064e-05×40589641000000     		ar = 73931.7965807899m²