Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35333 / 102911
↖ ↑ ↗
← S 71.073166°
W 82.955017°		 ← 99.07 m → S 71.073166°
W 82.952270°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.074057°
W 82.955017°		 ← 99.06 m →
9 814 m²		 S 71.074057°
W 82.952270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269573211669922 y=0.785152435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269573211669922 × 217)
    floor (0.269573211669922 × 131072)
    floor (35333.5)     		tx = 35333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785152435302734 × 217)
    floor (0.785152435302734 × 131072)
    floor (102911.5)     		ty = 102911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35333 / 102911 ti = "17/35333/102911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35333/102911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35333 ÷ 217
    35333 ÷ 131072     		x = 0.269569396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102911 ÷ 217
    102911 ÷ 131072     		y = 0.785148620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269569396972656 × 2 - 1) × π
    -0.460861206054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.44783818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785148620605469 × 2 - 1) × π
    -0.570297241210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.7916416232996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44783818} λ = -1.44783818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7916416232996))-π/2
    2×atan(0.166686308812093)-π/2
    2×0.165167788630383-π/2
    0.330335577260765-1.57079632675     		φ = -1.24046075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44783818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.955017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24046075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.073166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35333 KachelY 102911 -1.44783818 -1.24046075 -82.955017 -71.073166
    Oben rechts KachelX + 1 35334 KachelY 102911 -1.44779024 -1.24046075 -82.952270 -71.073166
    Unten links KachelX 35333 KachelY + 1 102912 -1.44783818 -1.24047630 -82.955017 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 35334 KachelY + 1 102912 -1.44779024 -1.24047630 -82.952270 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24046075--1.24047630) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24046075--1.24047630) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44783818--1.44779024) × cos(-1.24046075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324360480000856 × 6371000     		do = 99.0680396309516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44783818--1.44779024) × cos(-1.24047630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 99.0635470303119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24046075)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324360480000856-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.44779024--1.44783818)×1.47093059011394e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47093059011394e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47093059011394e-05×40589641000000     		ar = 9814.35403308671m²