Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35332 / 51730
↖ ↑ ↗
← S 71.556217°
E 14.084473°		 ← 193.26 m → S 71.556217°
E 14.089966°		 →
↑
193.23 m
↓
↑
193.23 m
↓
S 71.557954°
E 14.084473°		 ← 193.24 m →
37 342 m²		 S 71.557954°
E 14.089966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539131164550781 y=0.789344787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539131164550781 × 216)
    floor (0.539131164550781 × 65536)
    floor (35332.5)     		tx = 35332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789344787597656 × 216)
    floor (0.789344787597656 × 65536)
    floor (51730.5)     		ty = 51730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35332 / 51730 ti = "16/35332/51730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35332/51730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35332 ÷ 216
    35332 ÷ 65536     		x = 0.53912353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51730 ÷ 216
    51730 ÷ 65536     		y = 0.789337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53912353515625 × 2 - 1) × π
    0.0782470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24582042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.789337158203125 × 2 - 1) × π
    -0.57867431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.81795898119101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24582042} λ = 0.24582042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81795898119101))-π/2
    2×atan(0.162356786248812)-π/2
    2×0.160952372069329-π/2
    0.321904744138659-1.57079632675     		φ = -1.24889158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24582042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24889158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.556217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35332 KachelY 51730 0.24582042 -1.24889158 14.084473 -71.556217
    Oben rechts KachelX + 1 35333 KachelY 51730 0.24591630 -1.24889158 14.089966 -71.556217
    Unten links KachelX 35332 KachelY + 1 51731 0.24582042 -1.24892191 14.084473 -71.557954
    Unten rechts KachelX + 1 35333 KachelY + 1 51731 0.24591630 -1.24892191 14.089966 -71.557954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24889158--1.24892191) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dl = 193.232429999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24889158--1.24892191) × R
    3.03299999999673e-05 × 6371000     		dr = 193.232429999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24582042-0.24591630) × cos(-1.24889158) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.316374042009964 × 6371000     		do = 193.257551795354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24582042-0.24591630) × cos(-1.24892191) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.316345269779252 × 6371000     		du = 193.23997623564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24889158)-sin(-1.24892191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316374042009964-0.316345269779252)×R²
    abs(0.24591630-0.24582042)×2.87722307127369e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.87722307127369e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.87722307127369e-05×40589641000000     		ar = 37341.9282678613m²