Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35332 / 103069
↖ ↑ ↗
← S 71.213422°
W 82.957764°		 ← 98.36 m → S 71.213422°
W 82.955017°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 71.214306°
W 82.957764°		 ← 98.36 m →
9 675 m²		 S 71.214306°
W 82.955017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269565582275391 y=0.786357879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269565582275391 × 217)
    floor (0.269565582275391 × 131072)
    floor (35332.5)     		tx = 35332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786357879638672 × 217)
    floor (0.786357879638672 × 131072)
    floor (103069.5)     		ty = 103069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35332 / 103069 ti = "17/35332/103069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35332/103069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35332 ÷ 217
    35332 ÷ 131072     		x = 0.269561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103069 ÷ 217
    103069 ÷ 131072     		y = 0.786354064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.46087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44788612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786354064941406 × 2 - 1) × π
    -0.572708129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79921565343957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44788612} λ = -1.44788612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79921565343957))-π/2
    2×atan(0.165428590695202)-π/2
    2×0.163943821641027-π/2
    0.327887643282054-1.57079632675     		φ = -1.24290868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44788612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.957764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24290868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.213422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35332 KachelY 103069 -1.44788612 -1.24290868 -82.957764 -71.213422
    Oben rechts KachelX + 1 35333 KachelY 103069 -1.44783818 -1.24290868 -82.955017 -71.213422
    Unten links KachelX 35332 KachelY + 1 103070 -1.44788612 -1.24292412 -82.957764 -71.214306
    Unten rechts KachelX + 1 35333 KachelY + 1 103070 -1.44783818 -1.24292412 -82.955017 -71.214306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24290868--1.24292412) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24290868--1.24292412) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44788612--1.44783818) × cos(-1.24290868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322043931358919 × 6371000     		do = 98.3605060477426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44788612--1.44783818) × cos(-1.24292412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322029313890768 × 6371000     		du = 98.3560414967156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24290868)-sin(-1.24292412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322043931358919-0.322029313890768)×R²
    abs(-1.44783818--1.44788612)×1.46174681511235e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46174681511235e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46174681511235e-05×40589641000000     		ar = 9675.33028071446m²