Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35329 / 102912
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
W 82.966004°		 ← 99.06 m → S 71.074057°
W 82.963257°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.074948°
W 82.966004°		 ← 99.06 m →
9 814 m²		 S 71.074948°
W 82.963257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269542694091797 y=0.785160064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269542694091797 × 217)
    floor (0.269542694091797 × 131072)
    floor (35329.5)     		tx = 35329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785160064697266 × 217)
    floor (0.785160064697266 × 131072)
    floor (102912.5)     		ty = 102912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35329 / 102912 ti = "17/35329/102912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35329/102912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35329 ÷ 217
    35329 ÷ 131072     		x = 0.269538879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102912 ÷ 217
    102912 ÷ 131072     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269538879394531 × 2 - 1) × π
    -0.460922241210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.44802993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44802993} λ = -1.44802993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44802993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.966004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35329 KachelY 102912 -1.44802993 -1.24047630 -82.966004 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 35330 KachelY 102912 -1.44798199 -1.24047630 -82.963257 -71.074057
    Unten links KachelX 35329 KachelY + 1 102913 -1.44802993 -1.24049185 -82.966004 -71.074948
    Unten rechts KachelX + 1 35330 KachelY + 1 102913 -1.44798199 -1.24049185 -82.963257 -71.074948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24049185) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24049185) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44802993--1.44798199) × cos(-1.24047630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 99.0635470303119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44802993--1.44798199) × cos(-1.24049185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324331061310626 × 6371000     		du = 99.0590544057184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24049185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.324331061310626)×R²
    abs(-1.44798199--1.44802993)×1.47093843285151e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47093843285151e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47093843285151e-05×40589641000000     		ar = 9813.90895412266m²