Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35328 / 102915
↖ ↑ ↗
← S 71.076729°
W 82.968750°		 ← 99.03 m → S 71.076729°
W 82.966004°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.077619°
W 82.968750°		 ← 99.02 m →
9 804 m²		 S 71.077619°
W 82.966004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269535064697266 y=0.785182952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269535064697266 × 217)
    floor (0.269535064697266 × 131072)
    floor (35328.5)     		tx = 35328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785182952880859 × 217)
    floor (0.785182952880859 × 131072)
    floor (102915.5)     		ty = 102915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35328 / 102915 ti = "17/35328/102915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35328/102915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35328 ÷ 217
    35328 ÷ 131072     		x = 0.26953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102915 ÷ 217
    102915 ÷ 131072     		y = 0.785179138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26953125 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44807786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785179138183594 × 2 - 1) × π
    -0.570358276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.79183337089808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44807786} λ = -1.44807786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79183337089808))-π/2
    2×atan(0.166654350176773)-π/2
    2×0.165136693778904-π/2
    0.330273387557809-1.57079632675     		φ = -1.24052294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44807786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24052294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.076729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35328 KachelY 102915 -1.44807786 -1.24052294 -82.968750 -71.076729
    Oben rechts KachelX + 1 35329 KachelY 102915 -1.44802993 -1.24052294 -82.966004 -71.076729
    Unten links KachelX 35328 KachelY + 1 102916 -1.44807786 -1.24053848 -82.968750 -71.077619
    Unten rechts KachelX + 1 35329 KachelY + 1 102916 -1.44802993 -1.24053848 -82.966004 -71.077619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24052294--1.24053848) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24052294--1.24053848) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44807786--1.44802993) × cos(-1.24052294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324301651766237 × 6371000     		do = 99.029410715752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44807786--1.44802993) × cos(-1.24053848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.324286951606285 × 6371000     		du = 99.0249218450676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24052294)-sin(-1.24053848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324301651766237-0.324286951606285)×R²
    abs(-1.44802993--1.44807786)×1.47001599523078e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47001599523078e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47001599523078e-05×40589641000000     		ar = 9804.21826727995m²