Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35327 / 102914
↖ ↑ ↗
← S 71.075838°
W 82.971497°		 ← 99.05 m → S 71.075838°
W 82.968750°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
S 71.076729°
W 82.971497°		 ← 99.05 m →
9 813 m²		 S 71.076729°
W 82.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269527435302734 y=0.785175323486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269527435302734 × 217)
    floor (0.269527435302734 × 131072)
    floor (35327.5)     		tx = 35327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785175323486328 × 217)
    floor (0.785175323486328 × 131072)
    floor (102914.5)     		ty = 102914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35327 / 102914 ti = "17/35327/102914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35327/102914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35327 ÷ 217
    35327 ÷ 131072     		x = 0.269523620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102914 ÷ 217
    102914 ÷ 131072     		y = 0.785171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269523620605469 × 2 - 1) × π
    -0.460952758789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.44812580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785171508789062 × 2 - 1) × π
    -0.570343017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79178543399846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44812580} λ = -1.44812580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79178543399846))-π/2
    2×atan(0.166662339261113)-π/2
    2×0.165144466963025-π/2
    0.330288933926051-1.57079632675     		φ = -1.24050739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44812580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.971497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24050739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.075838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35327 KachelY 102914 -1.44812580 -1.24050739 -82.971497 -71.075838
    Oben rechts KachelX + 1 35328 KachelY 102914 -1.44807786 -1.24050739 -82.968750 -71.075838
    Unten links KachelX 35327 KachelY + 1 102915 -1.44812580 -1.24052294 -82.971497 -71.076729
    Unten rechts KachelX + 1 35328 KachelY + 1 102915 -1.44807786 -1.24052294 -82.968750 -71.076729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24050739--1.24052294) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dl = 99.0690499991353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24050739--1.24052294) × R
    1.55499999998643e-05 × 6371000     		dr = 99.0690499991353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44812580--1.44807786) × cos(-1.24050739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32431636130736 × 6371000     		do = 99.0545646463429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44812580--1.44807786) × cos(-1.24052294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.324301651766237 × 6371000     		du = 99.0500719738604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24050739)-sin(-1.24052294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32431636130736-0.324301651766237)×R²
    abs(-1.44807786--1.44812580)×1.47095411226483e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47095411226483e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47095411226483e-05×40589641000000     		ar = 9813.01907531137m²