Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35326 / 102919
↖ ↑ ↗
← S 71.080292°
W 82.974243°		 ← 99.03 m → S 71.080292°
W 82.971497°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
S 71.081182°
W 82.974243°		 ← 99.03 m →
9 804 m²		 S 71.081182°
W 82.971497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269519805908203 y=0.785213470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269519805908203 × 217)
    floor (0.269519805908203 × 131072)
    floor (35326.5)     		tx = 35326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785213470458984 × 217)
    floor (0.785213470458984 × 131072)
    floor (102919.5)     		ty = 102919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35326 / 102919 ti = "17/35326/102919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35326/102919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35326 ÷ 217
    35326 ÷ 131072     		x = 0.269515991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102919 ÷ 217
    102919 ÷ 131072     		y = 0.785209655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.460968017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.44817374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785209655761719 × 2 - 1) × π
    -0.570419311523438 × 3.1415926535     		Φ = -1.79202511849656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44817374} λ = -1.44817374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79202511849656))-π/2
    2×atan(0.166622397668856)-π/2
    2×0.165105604567034-π/2
    0.330211209134068-1.57079632675     		φ = -1.24058512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44817374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.974243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24058512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.080292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35326 KachelY 102919 -1.44817374 -1.24058512 -82.974243 -71.080292
    Oben rechts KachelX + 1 35327 KachelY 102919 -1.44812580 -1.24058512 -82.971497 -71.080292
    Unten links KachelX 35326 KachelY + 1 102920 -1.44817374 -1.24060066 -82.974243 -71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 35327 KachelY + 1 102920 -1.44812580 -1.24060066 -82.971497 -71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24058512--1.24060066) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24058512--1.24060066) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44817374--1.44812580) × cos(-1.24058512) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.32424283173709 × 6371000     		do = 99.0321068233899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44817374--1.44812580) × cos(-1.24060066) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 99.0276169204595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24058512)-sin(-1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32424283173709-0.324228131263808)×R²
    abs(-1.44812580--1.44817374)×1.47004732818368e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.47004732818368e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.47004732818368e-05×40589641000000     		ar = 9804.48514475476m²