Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 35325 / 101941
↖ ↑ ↗
← S 70.189758°
W 82.976989°		 ← 103.49 m → S 70.189758°
W 82.974243°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.190688°
W 82.976989°		 ← 103.48 m →
10 707 m²		 S 70.190688°
W 82.974243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269512176513672 y=0.777751922607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269512176513672 × 217)
    floor (0.269512176513672 × 131072)
    floor (35325.5)     		tx = 35325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777751922607422 × 217)
    floor (0.777751922607422 × 131072)
    floor (101941.5)     		ty = 101941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35325 / 101941 ti = "17/35325/101941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35325/101941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35325 ÷ 217
    35325 ÷ 131072     		x = 0.269508361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101941 ÷ 217
    101941 ÷ 131072     		y = 0.777748107910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269508361816406 × 2 - 1) × π
    -0.460983276367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.44822167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777748107910156 × 2 - 1) × π
    -0.555496215820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74514283066814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44822167} λ = -1.44822167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74514283066814))-π/2
    2×atan(0.174620046087695)-π/2
    2×0.172876979092923-π/2
    0.345753958185846-1.57079632675     		φ = -1.22504237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44822167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.976989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22504237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.189758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35325 KachelY 101941 -1.44822167 -1.22504237 -82.976989 -70.189758
    Oben rechts KachelX + 1 35326 KachelY 101941 -1.44817374 -1.22504237 -82.974243 -70.189758
    Unten links KachelX 35325 KachelY + 1 101942 -1.44822167 -1.22505861 -82.976989 -70.190688
    Unten rechts KachelX + 1 35326 KachelY + 1 101942 -1.44817374 -1.22505861 -82.974243 -70.190688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22504237--1.22505861) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22504237--1.22505861) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44822167--1.44817374) × cos(-1.22504237) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.338906111288483 × 6371000     		do = 103.489058122041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44822167--1.44817374) × cos(-1.22505861) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		du = 103.484392506355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22504237)-sin(-1.22505861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338906111288483-0.338890832323753)×R²
    abs(-1.44817374--1.44822167)×1.52789647300255e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.52789647300255e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.52789647300255e-05×40589641000000     		ar = 10707.2581743178m²