Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35323 / 47627
↖ ↑ ↗
← S 62.942732°
E 14.035034°		 ← 277.84 m → S 62.942732°
E 14.040527°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
S 62.945230°
E 14.035034°		 ← 277.81 m →
77 190 m²		 S 62.945230°
E 14.040527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538993835449219 y=0.726737976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538993835449219 × 216)
    floor (0.538993835449219 × 65536)
    floor (35323.5)     		tx = 35323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726737976074219 × 216)
    floor (0.726737976074219 × 65536)
    floor (47627.5)     		ty = 47627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35323 / 47627 ti = "16/35323/47627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35323/47627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35323 ÷ 216
    35323 ÷ 65536     		x = 0.538986206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47627 ÷ 216
    47627 ÷ 65536     		y = 0.726730346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538986206054688 × 2 - 1) × π
    0.077972412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24495756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726730346679688 × 2 - 1) × π
    -0.453460693359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42458878290883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24495756} λ = 0.24495756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42458878290883))-π/2
    2×atan(0.240607384736702)-π/2
    2×0.236119206291722-π/2
    0.472238412583444-1.57079632675     		φ = -1.09855791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24495756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.035034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09855791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.942732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35323 KachelY 47627 0.24495756 -1.09855791 14.035034 -62.942732
    Oben rechts KachelX + 1 35324 KachelY 47627 0.24505343 -1.09855791 14.040527 -62.942732
    Unten links KachelX 35323 KachelY + 1 47628 0.24495756 -1.09860152 14.035034 -62.945230
    Unten rechts KachelX + 1 35324 KachelY + 1 47628 0.24505343 -1.09860152 14.040527 -62.945230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09855791--1.09860152) × R
    4.36100000000827e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09855791--1.09860152) × R
    4.36100000000827e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24495756-0.24505343) × cos(-1.09855791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454880850547482 × 6371000     		do = 277.835660321594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24495756-0.24505343) × cos(-1.09860152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454842013128825 × 6371000     		du = 277.81193890126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09855791)-sin(-1.09860152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454880850547482-0.454842013128825)×R²
    abs(0.24505343-0.24495756)×3.88374186569562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88374186569562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88374186569562e-05×40589641000000     		ar = 77190.3727979181m²