Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3532 / 996
↖ ↑ ↗
← N 79.400084°
W 24.785156°		 ← 898.87 m → N 79.400084°
W 24.741211°		 →
↑
899.20 m
↓
↑
899.20 m
↓
N 79.391998°
W 24.785156°		 ← 899.55 m →
808 571 m²		 N 79.391998°
W 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43121337890625 y=0.12164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43121337890625 × 213)
    floor (0.43121337890625 × 8192)
    floor (3532.5)     		tx = 3532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12164306640625 × 213)
    floor (0.12164306640625 × 8192)
    floor (996.5)     		ty = 996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3532 / 996 ti = "13/3532/996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3532/996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3532 ÷ 213
    3532 ÷ 8192     		x = 0.43115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 996 ÷ 213
    996 ÷ 8192     		y = 0.12158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12158203125 × 2 - 1) × π
    0.7568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37767022115479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43258258} λ = -0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37767022115479))-π/2
    2×atan(10.779759130856)-π/2
    2×1.47829461403695-π/2
    2.95658922807391-1.57079632675     		φ = 1.38579290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38579290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.400084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3532 KachelY 996 -0.43258258 1.38579290 -24.785156 79.400084
    Oben rechts KachelX + 1 3533 KachelY 996 -0.43181559 1.38579290 -24.741211 79.400084
    Unten links KachelX 3532 KachelY + 1 997 -0.43258258 1.38565176 -24.785156 79.391998
    Unten rechts KachelX + 1 3533 KachelY + 1 997 -0.43181559 1.38565176 -24.741211 79.391998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38579290-1.38565176) × R
    0.000141139999999984 × 6371000     		dl = 899.202939999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38579290-1.38565176) × R
    0.000141139999999984 × 6371000     		dr = 899.202939999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43258258--0.43181559) × cos(1.38579290) × R
    0.000766989999999967 × 0.183949901847889 × 6371000     		do = 898.869961075828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43258258--0.43181559) × cos(1.38565176) × R
    0.000766989999999967 × 0.184088631548687 × 6371000     		du = 899.547862827903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38579290)-sin(1.38565176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183949901847889-0.184088631548687)×R²
    abs(-0.43181559--0.43258258)×0.000138729700798368×R²
    0.000766989999999967×0.000138729700798368×6371000²
    0.000766989999999967×0.000138729700798368×40589641000000     		ar = 808571.298642665m²