Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35318 / 47629
↖ ↑ ↗
← S 62.947729°
E 14.007568°		 ← 277.79 m → S 62.947729°
E 14.013061°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
S 62.950227°
E 14.007568°		 ← 277.76 m →
77 159 m²		 S 62.950227°
E 14.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538917541503906 y=0.726768493652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538917541503906 × 216)
    floor (0.538917541503906 × 65536)
    floor (35318.5)     		tx = 35318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726768493652344 × 216)
    floor (0.726768493652344 × 65536)
    floor (47629.5)     		ty = 47629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35318 / 47629 ti = "16/35318/47629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35318/47629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35318 ÷ 216
    35318 ÷ 65536     		x = 0.538909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47629 ÷ 216
    47629 ÷ 65536     		y = 0.726760864257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538909912109375 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24447819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.453521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42478053050731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24447819} λ = 0.24447819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42478053050731))-π/2
    2×atan(0.240561253271443)-π/2
    2×0.23607559886013-π/2
    0.472151197720259-1.57079632675     		φ = -1.09864513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24447819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09864513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.947729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35318 KachelY 47629 0.24447819 -1.09864513 14.007568 -62.947729
    Oben rechts KachelX + 1 35319 KachelY 47629 0.24457406 -1.09864513 14.013061 -62.947729
    Unten links KachelX 35318 KachelY + 1 47630 0.24447819 -1.09868873 14.007568 -62.950227
    Unten rechts KachelX + 1 35319 KachelY + 1 47630 0.24457406 -1.09868873 14.013061 -62.950227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09864513--1.09868873) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dl = 277.7755999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09864513--1.09868873) × R
    4.35999999999215e-05 × 6371000     		dr = 277.7755999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24447819-0.24457406) × cos(-1.09864513) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454803174845135 × 6371000     		do = 277.788216952574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24447819-0.24457406) × cos(-1.09868873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.454764344602604 × 6371000     		du = 277.76449991533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09864513)-sin(-1.09868873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454803174845135-0.454764344602604)×R²
    abs(0.24457406-0.24447819)×3.8830242531096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.8830242531096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.8830242531096e-05×40589641000000     		ar = 77159.4946418695m²