Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35316 / 47837
↖ ↑ ↗
← S 63.462783°
E 13.996582°		 ← 272.89 m → S 63.462783°
E 14.002075°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
S 63.465237°
E 13.996582°		 ← 272.86 m →
74 460 m²		 S 63.465237°
E 14.002075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538887023925781 y=0.729942321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538887023925781 × 216)
    floor (0.538887023925781 × 65536)
    floor (35316.5)     		tx = 35316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729942321777344 × 216)
    floor (0.729942321777344 × 65536)
    floor (47837.5)     		ty = 47837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35316 / 47837 ti = "16/35316/47837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35316/47837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35316 ÷ 216
    35316 ÷ 65536     		x = 0.53887939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47837 ÷ 216
    47837 ÷ 65536     		y = 0.729934692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53887939453125 × 2 - 1) × π
    0.0777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24428644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729934692382812 × 2 - 1) × π
    -0.459869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44472228074925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24428644} λ = 0.24428644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44472228074925))-π/2
    2×atan(0.235811556871763)-π/2
    2×0.231580905472948-π/2
    0.463161810945897-1.57079632675     		φ = -1.10763452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24428644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.996582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10763452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.462783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35316 KachelY 47837 0.24428644 -1.10763452 13.996582 -63.462783
    Oben rechts KachelX + 1 35317 KachelY 47837 0.24438231 -1.10763452 14.002075 -63.462783
    Unten links KachelX 35316 KachelY + 1 47838 0.24428644 -1.10767735 13.996582 -63.465237
    Unten rechts KachelX + 1 35317 KachelY + 1 47838 0.24438231 -1.10767735 14.002075 -63.465237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10763452--1.10767735) × R
    4.28299999999382e-05 × 6371000     		dl = 272.869929999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10763452--1.10767735) × R
    4.28299999999382e-05 × 6371000     		dr = 272.869929999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24428644-0.24438231) × cos(-1.10763452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446779028042587 × 6371000     		do = 272.887166220893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24428644-0.24438231) × cos(-1.10767735) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446740710015609 × 6371000     		du = 272.863762038644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10763452)-sin(-1.10767735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446779028042587-0.446740710015609)×R²
    abs(0.24438231-0.24428644)×3.83180269780126e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83180269780126e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83180269780126e-05×40589641000000     		ar = 74459.5088071733m²