Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3531 / 4565
↖ ↑ ↗
← N 78.159316°
W141.207275°		 ← 250.66 m → N 78.159316°
W141.196289°		 →
↑
250.70 m
↓
↑
250.70 m
↓
N 78.157062°
W141.207275°		 ← 250.70 m →
62 845 m²		 N 78.157062°
W141.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107772827148438 y=0.139328002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107772827148438 × 215)
    floor (0.107772827148438 × 32768)
    floor (3531.5)     		tx = 3531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139328002929688 × 215)
    floor (0.139328002929688 × 32768)
    floor (4565.5)     		ty = 4565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3531 / 4565 ti = "15/3531/4565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3531/4565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3531 ÷ 215
    3531 ÷ 32768     		x = 0.107757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4565 ÷ 215
    4565 ÷ 32768     		y = 0.139312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.78448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46453188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139312744140625 × 2 - 1) × π
    0.72137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26626486643777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46453188} λ = -2.46453188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26626486643777))-π/2
    2×atan(9.64331439498164)-π/2
    2×1.46746686652127-π/2
    2.93493373304254-1.57079632675     		φ = 1.36413741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46453188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36413741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.159316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3531 KachelY 4565 -2.46453188 1.36413741 -141.207275 78.159316
    Oben rechts KachelX + 1 3532 KachelY 4565 -2.46434014 1.36413741 -141.196289 78.159316
    Unten links KachelX 3531 KachelY + 1 4566 -2.46453188 1.36409806 -141.207275 78.157062
    Unten rechts KachelX + 1 3532 KachelY + 1 4566 -2.46434014 1.36409806 -141.196289 78.157062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36413741-1.36409806) × R
    3.93500000002156e-05 × 6371000     		dl = 250.698850001374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36413741-1.36409806) × R
    3.93500000002156e-05 × 6371000     		dr = 250.698850001374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46453188--2.46434014) × cos(1.36413741) × R
    0.000191739999999996 × 0.205191059761417 × 6371000     		do = 250.656379631219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46453188--2.46434014) × cos(1.36409806) × R
    0.000191739999999996 × 0.205229572310747 × 6371000     		du = 250.703425619465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36413741)-sin(1.36409806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205191059761417-0.205229572310747)×R²
    abs(-2.46434014--2.46453188)×3.85125493304883e-05×R²
    0.000191739999999996×3.85125493304883e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.85125493304883e-05×40589641000000     		ar = 62845.1633149845m²