Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3531 / 2795
↖ ↑ ↗
← N 49.525208°
W 24.829101°		 ← 3 171.89 m → N 49.525208°
W 24.785156°		 →
↑
3 172.82 m
↓
↑
3 172.82 m
↓
N 49.496675°
W 24.829101°		 ← 3 173.74 m →
10 066 773 m²		 N 49.496675°
W 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43109130859375 y=0.34124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43109130859375 × 213)
    floor (0.43109130859375 × 8192)
    floor (3531.5)     		tx = 3531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34124755859375 × 213)
    floor (0.34124755859375 × 8192)
    floor (2795.5)     		ty = 2795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3531 / 2795 ti = "13/3531/2795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3531/2795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3531 ÷ 213
    3531 ÷ 8192     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2795 ÷ 213
    2795 ÷ 8192     		y = 0.3411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3411865234375 × 2 - 1) × π
    0.317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997854502491089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997854502491089))-π/2
    2×atan(2.71245601343814)-π/2
    2×1.21758713754-π/2
    2.43517427508-1.57079632675     		φ = 0.86437795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86437795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.525208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3531 KachelY 2795 -0.43334957 0.86437795 -24.829101 49.525208
    Oben rechts KachelX + 1 3532 KachelY 2795 -0.43258258 0.86437795 -24.785156 49.525208
    Unten links KachelX 3531 KachelY + 1 2796 -0.43334957 0.86387994 -24.829101 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 3532 KachelY + 1 2796 -0.43258258 0.86387994 -24.785156 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86437795-0.86387994) × R
    0.000498009999999938 × 6371000     		dl = 3172.8217099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86437795-0.86387994) × R
    0.000498009999999938 × 6371000     		dr = 3172.8217099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43258258) × cos(0.86437795) × R
    0.000766990000000023 × 0.64911342947038 × 6371000     		do = 3171.88841755599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43258258) × cos(0.86387994) × R
    0.000766990000000023 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 3173.73918435768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86437795)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64911342947038-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.43258258--0.43334957)×0.000378751528313903×R²
    0.000766990000000023×0.000378751528313903×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378751528313903×40589641000000     		ar = 10066772.717519m²