Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35307 / 47836
↖ ↑ ↗
← S 63.460329°
E 13.947144°		 ← 272.91 m → S 63.460329°
E 13.952637°		 →
↑
272.93 m
↓
↑
272.93 m
↓
S 63.462783°
E 13.947144°		 ← 272.89 m →
74 483 m²		 S 63.462783°
E 13.952637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538749694824219 y=0.729927062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538749694824219 × 216)
    floor (0.538749694824219 × 65536)
    floor (35307.5)     		tx = 35307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729927062988281 × 216)
    floor (0.729927062988281 × 65536)
    floor (47836.5)     		ty = 47836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35307 / 47836 ti = "16/35307/47836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35307/47836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35307 ÷ 216
    35307 ÷ 65536     		x = 0.538742065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47836 ÷ 216
    47836 ÷ 65536     		y = 0.72991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538742065429688 × 2 - 1) × π
    0.077484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24342358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.4598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.44462640695001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24342358} λ = 0.24342358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44462640695001))-π/2
    2×atan(0.235834166105424)-π/2
    2×0.231602323593074-π/2
    0.463204647186148-1.57079632675     		φ = -1.10759168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24342358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.947144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10759168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.460329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35307 KachelY 47836 0.24342358 -1.10759168 13.947144 -63.460329
    Oben rechts KachelX + 1 35308 KachelY 47836 0.24351945 -1.10759168 13.952637 -63.460329
    Unten links KachelX 35307 KachelY + 1 47837 0.24342358 -1.10763452 13.947144 -63.462783
    Unten rechts KachelX + 1 35308 KachelY + 1 47837 0.24351945 -1.10763452 13.952637 -63.462783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10759168--1.10763452) × R
    4.28399999998774e-05 × 6371000     		dl = 272.933639999219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10759168--1.10763452) × R
    4.28399999998774e-05 × 6371000     		dr = 272.933639999219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24342358-0.24351945) × cos(-1.10759168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446817354196241 × 6371000     		do = 272.910575366816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24342358-0.24351945) × cos(-1.10763452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446779028042587 × 6371000     		du = 272.887166220893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10759168)-sin(-1.10763452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446817354196241-0.446779028042587)×R²
    abs(0.24351945-0.24342358)×3.83261536545665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83261536545665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83261536545665e-05×40589641000000     		ar = 74483.2821690721m²