Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35300 / 48188
↖ ↑ ↗
← S 64.311349°
E 13.908691°		 ← 264.76 m → S 64.311349°
E 13.914184°		 →
↑
264.78 m
↓
↑
264.78 m
↓
S 64.313730°
E 13.908691°		 ← 264.74 m →
70 101 m²		 S 64.313730°
E 13.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538642883300781 y=0.735298156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538642883300781 × 216)
    floor (0.538642883300781 × 65536)
    floor (35300.5)     		tx = 35300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735298156738281 × 216)
    floor (0.735298156738281 × 65536)
    floor (48188.5)     		ty = 48188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35300 / 48188 ti = "16/35300/48188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35300/48188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35300 ÷ 216
    35300 ÷ 65536     		x = 0.53863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48188 ÷ 216
    48188 ÷ 65536     		y = 0.73529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53863525390625 × 2 - 1) × π
    0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.4705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47837398428253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24275246} λ = 0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47837398428253))-π/2
    2×atan(0.228008131934912)-π/2
    2×0.22417577449861-π/2
    0.448351548997221-1.57079632675     		φ = -1.12244478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12244478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.311349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35300 KachelY 48188 0.24275246 -1.12244478 13.908691 -64.311349
    Oben rechts KachelX + 1 35301 KachelY 48188 0.24284833 -1.12244478 13.914184 -64.311349
    Unten links KachelX 35300 KachelY + 1 48189 0.24275246 -1.12248634 13.908691 -64.313730
    Unten rechts KachelX + 1 35301 KachelY + 1 48189 0.24284833 -1.12248634 13.914184 -64.313730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12244478--1.12248634) × R
    4.15600000001071e-05 × 6371000     		dl = 264.778760000682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12244478--1.12248634) × R
    4.15600000001071e-05 × 6371000     		dr = 264.778760000682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24275246-0.24284833) × cos(-1.12244478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433480598884494 × 6371000     		do = 264.764648330919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24275246-0.24284833) × cos(-1.12248634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.433443146180065 × 6371000     		du = 264.7417726771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12244478)-sin(-1.12248634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.433480598884494-0.433443146180065)×R²
    abs(0.24284833-0.24275246)×3.74527044295636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74527044295636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74527044295636e-05×40589641000000     		ar = 70101.0267938914m²