Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35300 / 47853
↖ ↑ ↗
← S 63.502024°
E 13.908691°		 ← 272.51 m → S 63.502024°
E 13.914184°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
S 63.504475°
E 13.908691°		 ← 272.49 m →
74 253 m²		 S 63.504475°
E 13.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538642883300781 y=0.730186462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538642883300781 × 216)
    floor (0.538642883300781 × 65536)
    floor (35300.5)     		tx = 35300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730186462402344 × 216)
    floor (0.730186462402344 × 65536)
    floor (47853.5)     		ty = 47853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35300 / 47853 ti = "16/35300/47853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35300/47853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35300 ÷ 216
    35300 ÷ 65536     		x = 0.53863525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47853 ÷ 216
    47853 ÷ 65536     		y = 0.730178833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53863525390625 × 2 - 1) × π
    0.0772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24275246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730178833007812 × 2 - 1) × π
    -0.460357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44625626153709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24275246} λ = 0.24275246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44625626153709))-π/2
    2×atan(0.2354501037759)-π/2
    2×0.231238465304763-π/2
    0.462476930609526-1.57079632675     		φ = -1.10831940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24275246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10831940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.502024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35300 KachelY 47853 0.24275246 -1.10831940 13.908691 -63.502024
    Oben rechts KachelX + 1 35301 KachelY 47853 0.24284833 -1.10831940 13.914184 -63.502024
    Unten links KachelX 35300 KachelY + 1 47854 0.24275246 -1.10836217 13.908691 -63.504475
    Unten rechts KachelX + 1 35301 KachelY + 1 47854 0.24284833 -1.10836217 13.914184 -63.504475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10831940--1.10836217) × R
    4.27699999998588e-05 × 6371000     		dl = 272.4876699991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10831940--1.10836217) × R
    4.27699999998588e-05 × 6371000     		dr = 272.4876699991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24275246-0.24284833) × cos(-1.10831940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446166199289773 × 6371000     		do = 272.51285791357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24275246-0.24284833) × cos(-1.10836217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446127921864945 × 6371000     		du = 272.489478530618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10831940)-sin(-1.10836217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446166199289773-0.446127921864945)×R²
    abs(0.24284833-0.24275246)×3.82774248276485e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82774248276485e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82774248276485e-05×40589641000000     		ar = 74253.2084120686m²