Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35300 / 103100
↖ ↑ ↗
← S 71.240823°
W 83.045654°		 ← 98.22 m → S 71.240823°
W 83.042908°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.241706°
W 83.045654°		 ← 98.22 m →
9 643 m²		 S 71.241706°
W 83.042908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269321441650391 y=0.786594390869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269321441650391 × 217)
    floor (0.269321441650391 × 131072)
    floor (35300.5)     		tx = 35300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786594390869141 × 217)
    floor (0.786594390869141 × 131072)
    floor (103100.5)     		ty = 103100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35300 / 103100 ti = "17/35300/103100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35300/103100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35300 ÷ 217
    35300 ÷ 131072     		x = 0.269317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103100 ÷ 217
    103100 ÷ 131072     		y = 0.786590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.46136474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44942010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.57318115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80070169732779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44942010} λ = -1.44942010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80070169732779))-π/2
    2×atan(0.16518293911878)-π/2
    2×0.163704704188218-π/2
    0.327409408376436-1.57079632675     		φ = -1.24338692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44942010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.045654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24338692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.240823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35300 KachelY 103100 -1.44942010 -1.24338692 -83.045654 -71.240823
    Oben rechts KachelX + 1 35301 KachelY 103100 -1.44937216 -1.24338692 -83.042908 -71.240823
    Unten links KachelX 35300 KachelY + 1 103101 -1.44942010 -1.24340233 -83.045654 -71.241706
    Unten rechts KachelX + 1 35301 KachelY + 1 103101 -1.44937216 -1.24340233 -83.042908 -71.241706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24338692--1.24340233) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dl = 98.1771099988975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24338692--1.24340233) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dr = 98.1771099988975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44942010--1.44937216) × cos(-1.24338692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321591132915457 × 6371000     		do = 98.2222097480774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44942010--1.44937216) × cos(-1.24340233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321576541477559 × 6371000     		du = 98.2177531473597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24338692)-sin(-1.24340233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321591132915457-0.321576541477559)×R²
    abs(-1.44937216--1.44942010)×1.45914378980594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45914378980594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45914378980594e-05×40589641000000     		ar = 9642.95392290348m²