Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3530 / 5458
↖ ↑ ↗
← S 51.234407°
W 24.873047°		 ← 3 059.61 m → S 51.234407°
W 24.829101°		 →
↑
3 058.65 m
↓
↑
3 058.65 m
↓
S 51.261915°
W 24.873047°		 ← 3 057.78 m →
9 355 482 m²		 S 51.261915°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43096923828125 y=0.66632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43096923828125 × 213)
    floor (0.43096923828125 × 8192)
    floor (3530.5)     		tx = 3530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66632080078125 × 213)
    floor (0.66632080078125 × 8192)
    floor (5458.5)     		ty = 5458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3530 / 5458 ti = "13/3530/5458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3530/5458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3530 ÷ 213
    3530 ÷ 8192     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5458 ÷ 213
    5458 ÷ 8192     		y = 0.666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04464091652026))-π/2
    2×atan(0.351818128776816)-π/2
    2×0.33829361410979-π/2
    0.67658722821958-1.57079632675     		φ = -0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3530 KachelY 5458 -0.43411656 -0.89420910 -24.873047 -51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 3531 KachelY 5458 -0.43334957 -0.89420910 -24.829101 -51.234407
    Unten links KachelX 3530 KachelY + 1 5459 -0.43411656 -0.89468919 -24.873047 -51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 3531 KachelY + 1 5459 -0.43334957 -0.89468919 -24.829101 -51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89420910--0.89468919) × R
    0.000480090000000044 × 6371000     		dl = 3058.65339000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89420910--0.89468919) × R
    0.000480090000000044 × 6371000     		dr = 3058.65339000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43334957) × cos(-0.89420910) × R
    0.000766989999999967 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 3059.60783829026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43334957) × cos(-0.89468919) × R
    0.000766989999999967 × 0.625761282958258 × 6371000     		du = 3057.77831031719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89420910)-sin(-0.89468919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.625761282958258)×R²
    abs(-0.43334957--0.43411656)×0.000374405092669949×R²
    0.000766989999999967×0.000374405092669949×6371000²
    0.000766989999999967×0.000374405092669949×40589641000000     		ar = 9355482.12038097m²