Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3530 / 2794
↖ ↑ ↗
← N 49.553726°
W 24.873047°		 ← 3 170.04 m → N 49.553726°
W 24.829101°		 →
↑
3 170.97 m
↓
↑
3 170.97 m
↓
N 49.525208°
W 24.873047°		 ← 3 171.89 m →
10 055 042 m²		 N 49.525208°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43096923828125 y=0.34112548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43096923828125 × 213)
    floor (0.43096923828125 × 8192)
    floor (3530.5)     		tx = 3530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34112548828125 × 213)
    floor (0.34112548828125 × 8192)
    floor (2794.5)     		ty = 2794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3530 / 2794 ti = "13/3530/2794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3530/2794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3530 ÷ 213
    3530 ÷ 8192     		x = 0.430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2794 ÷ 213
    2794 ÷ 8192     		y = 0.341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341064453125 × 2 - 1) × π
    0.31787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99862149288501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43411656} λ = -0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99862149288501))-π/2
    2×atan(2.71453723918243)-π/2
    2×1.21783599680803-π/2
    2.43567199361605-1.57079632675     		φ = 0.86487567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86487567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.553726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3530 KachelY 2794 -0.43411656 0.86487567 -24.873047 49.553726
    Oben rechts KachelX + 1 3531 KachelY 2794 -0.43334957 0.86487567 -24.829101 49.553726
    Unten links KachelX 3530 KachelY + 1 2795 -0.43411656 0.86437795 -24.873047 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 3531 KachelY + 1 2795 -0.43334957 0.86437795 -24.829101 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86487567-0.86437795) × R
    0.000497720000000035 × 6371000     		dl = 3170.97412000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86487567-0.86437795) × R
    0.000497720000000035 × 6371000     		dr = 3170.97412000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43411656--0.43334957) × cos(0.86487567) × R
    0.000766989999999967 × 0.648734737647142 × 6371000     		do = 3170.03794250253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43411656--0.43334957) × cos(0.86437795) × R
    0.000766989999999967 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 3171.88841755576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86487567)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648734737647142-0.64911342947038)×R²
    abs(-0.43334957--0.43411656)×0.000378691823237909×R²
    0.000766989999999967×0.000378691823237909×6371000²
    0.000766989999999967×0.000378691823237909×40589641000000     		ar = 10055042.3869213m²