Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35299 / 47843
↖ ↑ ↗
← S 63.477505°
E 13.903198°		 ← 272.75 m → S 63.477505°
E 13.908691°		 →
↑
272.74 m
↓
↑
272.74 m
↓
S 63.479958°
E 13.903198°		 ← 272.72 m →
74 386 m²		 S 63.479958°
E 13.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538627624511719 y=0.730033874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538627624511719 × 216)
    floor (0.538627624511719 × 65536)
    floor (35299.5)     		tx = 35299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730033874511719 × 216)
    floor (0.730033874511719 × 65536)
    floor (47843.5)     		ty = 47843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35299 / 47843 ti = "16/35299/47843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35299/47843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35299 ÷ 216
    35299 ÷ 65536     		x = 0.538619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47843 ÷ 216
    47843 ÷ 65536     		y = 0.730026245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538619995117188 × 2 - 1) × π
    0.077239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24265659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730026245117188 × 2 - 1) × π
    -0.460052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44529752354469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24265659} λ = 0.24265659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44529752354469))-π/2
    2×atan(0.235675946980636)-π/2
    2×0.231452435325403-π/2
    0.462904870650807-1.57079632675     		φ = -1.10789146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24265659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10789146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.477505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35299 KachelY 47843 0.24265659 -1.10789146 13.903198 -63.477505
    Oben rechts KachelX + 1 35300 KachelY 47843 0.24275246 -1.10789146 13.908691 -63.477505
    Unten links KachelX 35299 KachelY + 1 47844 0.24265659 -1.10793427 13.903198 -63.479958
    Unten rechts KachelX + 1 35300 KachelY + 1 47844 0.24275246 -1.10793427 13.908691 -63.479958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10789146--1.10793427) × R
    4.28100000000597e-05 × 6371000     		dl = 272.742510000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10789146--1.10793427) × R
    4.28100000000597e-05 × 6371000     		dr = 272.742510000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24265659-0.24275246) × cos(-1.10789146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446549143379912 × 6371000     		do = 272.746755480421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24265659-0.24275246) × cos(-1.10793427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.446510838333287 × 6371000     		du = 272.723359226413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10789146)-sin(-1.10793427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446549143379912-0.446510838333287)×R²
    abs(0.24275246-0.24265659)×3.83050466249424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83050466249424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83050466249424e-05×40589641000000     		ar = 74386.4441192521m²