Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35298 / 47838
↖ ↑ ↗
← S 63.465237°
E 13.897705°		 ← 272.89 m → S 63.465237°
E 13.903198°		 →
↑
272.87 m
↓
↑
272.87 m
↓
S 63.467691°
E 13.897705°		 ← 272.87 m →
74 461 m²		 S 63.467691°
E 13.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538612365722656 y=0.729957580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538612365722656 × 216)
    floor (0.538612365722656 × 65536)
    floor (35298.5)     		tx = 35298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729957580566406 × 216)
    floor (0.729957580566406 × 65536)
    floor (47838.5)     		ty = 47838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35298 / 47838 ti = "16/35298/47838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35298/47838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35298 ÷ 216
    35298 ÷ 65536     		x = 0.538604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47838 ÷ 216
    47838 ÷ 65536     		y = 0.729949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538604736328125 × 2 - 1) × π
    0.07720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24256071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729949951171875 × 2 - 1) × π
    -0.45989990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44481815454849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24256071} λ = 0.24256071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44481815454849))-π/2
    2×atan(0.235788949805631)-π/2
    2×0.231559489189839-π/2
    0.463118978379678-1.57079632675     		φ = -1.10767735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24256071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10767735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.465237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35298 KachelY 47838 0.24256071 -1.10767735 13.897705 -63.465237
    Oben rechts KachelX + 1 35299 KachelY 47838 0.24265659 -1.10767735 13.903198 -63.465237
    Unten links KachelX 35298 KachelY + 1 47839 0.24256071 -1.10772018 13.897705 -63.467691
    Unten rechts KachelX + 1 35299 KachelY + 1 47839 0.24265659 -1.10772018 13.903198 -63.467691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10767735--1.10772018) × R
    4.28300000001602e-05 × 6371000     		dl = 272.869930001021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10767735--1.10772018) × R
    4.28300000001602e-05 × 6371000     		dr = 272.869930001021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24256071-0.24265659) × cos(-1.10767735) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.446740710015609 × 6371000     		do = 272.892223889265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24256071-0.24265659) × cos(-1.10772018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.446702391169125 × 6371000     		du = 272.868816765178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10767735)-sin(-1.10772018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446740710015609-0.446702391169125)×R²
    abs(0.24265659-0.24256071)×3.8318846483365e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8318846483365e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8318846483365e-05×40589641000000     		ar = 74460.8884914496m²