Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35289 / 47723
↖ ↑ ↗
← S 63.181629°
E 13.848267°		 ← 275.57 m → S 63.181629°
E 13.853760°		 →
↑
275.55 m
↓
↑
275.55 m
↓
S 63.184107°
E 13.848267°		 ← 275.54 m →
75 928 m²		 S 63.184107°
E 13.853760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538475036621094 y=0.728202819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538475036621094 × 216)
    floor (0.538475036621094 × 65536)
    floor (35289.5)     		tx = 35289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728202819824219 × 216)
    floor (0.728202819824219 × 65536)
    floor (47723.5)     		ty = 47723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35289 / 47723 ti = "16/35289/47723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35289/47723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35289 ÷ 216
    35289 ÷ 65536     		x = 0.538467407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47723 ÷ 216
    47723 ÷ 65536     		y = 0.728195190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538467407226562 × 2 - 1) × π
    0.076934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24169785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728195190429688 × 2 - 1) × π
    -0.456390380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43379266763588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24169785} λ = 0.24169785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43379266763588))-π/2
    2×atan(0.238403022014521)-π/2
    2×0.234034432568673-π/2
    0.468068865137347-1.57079632675     		φ = -1.10272746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24169785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.848267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10272746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.181629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35289 KachelY 47723 0.24169785 -1.10272746 13.848267 -63.181629
    Oben rechts KachelX + 1 35290 KachelY 47723 0.24179372 -1.10272746 13.853760 -63.181629
    Unten links KachelX 35289 KachelY + 1 47724 0.24169785 -1.10277071 13.848267 -63.184107
    Unten rechts KachelX + 1 35290 KachelY + 1 47724 0.24179372 -1.10277071 13.853760 -63.184107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10272746--1.10277071) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dl = 275.545749998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10272746--1.10277071) × R
    4.32499999998281e-05 × 6371000     		dr = 275.545749998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24169785-0.24179372) × cos(-1.10272746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451163704854664 × 6371000     		do = 275.565273193112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24169785-0.24179372) × cos(-1.10277071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451125106350424 × 6371000     		du = 275.541697698782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10272746)-sin(-1.10277071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451163704854664-0.451125106350424)×R²
    abs(0.24179372-0.24169785)×3.85985042395953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85985042395953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85985042395953e-05×40589641000000     		ar = 75927.5918234619m²