Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35286 / 47721
↖ ↑ ↗
← S 63.176672°
E 13.831787°		 ← 275.61 m → S 63.176672°
E 13.837280°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
S 63.179151°
E 13.831787°		 ← 275.59 m →
75 958 m²		 S 63.179151°
E 13.837280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538429260253906 y=0.728172302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538429260253906 × 216)
    floor (0.538429260253906 × 65536)
    floor (35286.5)     		tx = 35286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728172302246094 × 216)
    floor (0.728172302246094 × 65536)
    floor (47721.5)     		ty = 47721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35286 / 47721 ti = "16/35286/47721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35286/47721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35286 ÷ 216
    35286 ÷ 65536     		x = 0.538421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47721 ÷ 216
    47721 ÷ 65536     		y = 0.728164672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538421630859375 × 2 - 1) × π
    0.07684326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24141023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728164672851562 × 2 - 1) × π
    -0.456329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4336009200374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24141023} λ = 0.24141023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4336009200374))-π/2
    2×atan(0.238448739604441)-π/2
    2×0.234077691048106-π/2
    0.468155382096212-1.57079632675     		φ = -1.10264094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24141023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.831787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10264094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.176672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35286 KachelY 47721 0.24141023 -1.10264094 13.831787 -63.176672
    Oben rechts KachelX + 1 35287 KachelY 47721 0.24150610 -1.10264094 13.837280 -63.176672
    Unten links KachelX 35286 KachelY + 1 47722 0.24141023 -1.10268420 13.831787 -63.179151
    Unten rechts KachelX + 1 35287 KachelY + 1 47722 0.24150610 -1.10268420 13.837280 -63.179151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10264094--1.10268420) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10264094--1.10268420) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24141023-0.24150610) × cos(-1.10264094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451240917179325 × 6371000     		do = 275.612433536709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24141023-0.24150610) × cos(-1.10268420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451202311439191 × 6371000     		du = 275.588853622783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10264094)-sin(-1.10268420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451240917179325-0.451202311439191)×R²
    abs(0.24150610-0.24141023)×3.86057401343121e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86057401343121e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86057401343121e-05×40589641000000     		ar = 75958.1445645569m²