Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35286 / 103127
↖ ↑ ↗
← S 71.264657°
W 83.084106°		 ← 98.08 m → S 71.264657°
W 83.081360°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 71.265539°
W 83.084106°		 ← 98.08 m →
9 617 m²		 S 71.265539°
W 83.081360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269214630126953 y=0.786800384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269214630126953 × 217)
    floor (0.269214630126953 × 131072)
    floor (35286.5)     		tx = 35286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786800384521484 × 217)
    floor (0.786800384521484 × 131072)
    floor (103127.5)     		ty = 103127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35286 / 103127 ti = "17/35286/103127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35286/103127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35286 ÷ 217
    35286 ÷ 131072     		x = 0.269210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103127 ÷ 217
    103127 ÷ 131072     		y = 0.786796569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269210815429688 × 2 - 1) × π
    -0.461578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.45009121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786796569824219 × 2 - 1) × π
    -0.573593139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.80199599361753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45009121} λ = -1.45009121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80199599361753))-π/2
    2×atan(0.164969281751346)-π/2
    2×0.16349671456417-π/2
    0.32699342912834-1.57079632675     		φ = -1.24380290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45009121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.084106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24380290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.264657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35286 KachelY 103127 -1.45009121 -1.24380290 -83.084106 -71.264657
    Oben rechts KachelX + 1 35287 KachelY 103127 -1.45004328 -1.24380290 -83.081360 -71.264657
    Unten links KachelX 35286 KachelY + 1 103128 -1.45009121 -1.24381829 -83.084106 -71.265539
    Unten rechts KachelX + 1 35287 KachelY + 1 103128 -1.45004328 -1.24381829 -83.081360 -71.265539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24380290--1.24381829) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dl = 98.0496900010865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24380290--1.24381829) × R
    1.53900000001705e-05 × 6371000     		dr = 98.0496900010865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45009121--1.45004328) × cos(-1.24380290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321197222529627 × 6371000     		do = 98.0814359020687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45009121--1.45004328) × cos(-1.24381829) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321182647971903 × 6371000     		du = 98.0769853855359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24380290)-sin(-1.24381829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321197222529627-0.321182647971903)×R²
    abs(-1.45004328--1.45009121)×1.4574557723801e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4574557723801e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4574557723801e-05×40589641000000     		ar = 9616.6361992792m²