Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35285 / 47821
↖ ↑ ↗
← S 63.423488°
E 13.826294°		 ← 273.29 m → S 63.423488°
E 13.831787°		 →
↑
273.32 m
↓
↑
273.32 m
↓
S 63.425946°
E 13.826294°		 ← 273.27 m →
74 691 m²		 S 63.425946°
E 13.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538414001464844 y=0.729698181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538414001464844 × 216)
    floor (0.538414001464844 × 65536)
    floor (35285.5)     		tx = 35285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729698181152344 × 216)
    floor (0.729698181152344 × 65536)
    floor (47821.5)     		ty = 47821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35285 / 47821 ti = "16/35285/47821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35285/47821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35285 ÷ 216
    35285 ÷ 65536     		x = 0.538406372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47821 ÷ 216
    47821 ÷ 65536     		y = 0.729690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538406372070312 × 2 - 1) × π
    0.076812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24131435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729690551757812 × 2 - 1) × π
    -0.459381103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44318829996141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24131435} λ = 0.24131435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44318829996141))-π/2
    2×atan(0.236173564855214)-π/2
    2×0.231923815917366-π/2
    0.463847631834732-1.57079632675     		φ = -1.10694869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24131435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10694869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.423488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35285 KachelY 47821 0.24131435 -1.10694869 13.826294 -63.423488
    Oben rechts KachelX + 1 35286 KachelY 47821 0.24141023 -1.10694869 13.831787 -63.423488
    Unten links KachelX 35285 KachelY + 1 47822 0.24131435 -1.10699159 13.826294 -63.425946
    Unten rechts KachelX + 1 35286 KachelY + 1 47822 0.24141023 -1.10699159 13.831787 -63.425946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10694869--1.10699159) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dl = 273.315899999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10694869--1.10699159) × R
    4.28999999999569e-05 × 6371000     		dr = 273.315899999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24131435-0.24141023) × cos(-1.10694869) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447392496849997 × 6371000     		do = 273.290368841695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24131435-0.24141023) × cos(-1.10699159) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.447354129350216 × 6371000     		du = 273.26693199767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10694869)-sin(-1.10699159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447392496849997-0.447354129350216)×R²
    abs(0.24141023-0.24131435)×3.83674997813666e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83674997813666e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83674997813666e-05×40589641000000     		ar = 74691.4003016234m²