Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35285 / 103128
↖ ↑ ↗
← S 71.265539°
W 83.086853°		 ← 98.10 m → S 71.265539°
W 83.084106°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
S 71.266421°
W 83.086853°		 ← 98.09 m →
9 624 m²		 S 71.266421°
W 83.084106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269207000732422 y=0.786808013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269207000732422 × 217)
    floor (0.269207000732422 × 131072)
    floor (35285.5)     		tx = 35285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786808013916016 × 217)
    floor (0.786808013916016 × 131072)
    floor (103128.5)     		ty = 103128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35285 / 103128 ti = "17/35285/103128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35285/103128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35285 ÷ 217
    35285 ÷ 131072     		x = 0.269203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103128 ÷ 217
    103128 ÷ 131072     		y = 0.78680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269203186035156 × 2 - 1) × π
    -0.461593627929688 × 3.1415926535     		Λ = -1.45013915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.5736083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80204393051715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45013915} λ = -1.45013915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80204393051715))-π/2
    2×atan(0.164961373824988)-π/2
    2×0.163489016139354-π/2
    0.326978032278707-1.57079632675     		φ = -1.24381829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45013915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.086853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24381829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.265539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35285 KachelY 103128 -1.45013915 -1.24381829 -83.086853 -71.265539
    Oben rechts KachelX + 1 35286 KachelY 103128 -1.45009121 -1.24381829 -83.084106 -71.265539
    Unten links KachelX 35285 KachelY + 1 103129 -1.45013915 -1.24383369 -83.086853 -71.266421
    Unten rechts KachelX + 1 35286 KachelY + 1 103129 -1.45009121 -1.24383369 -83.084106 -71.266421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24381829--1.24383369) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dl = 98.1133999992847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24381829--1.24383369) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dr = 98.1133999992847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45013915--1.45009121) × cos(-1.24381829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321182647971903 × 6371000     		do = 98.0974479319138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45013915--1.45009121) × cos(-1.24383369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321168063867885 × 6371000     		du = 98.0929935711517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24381829)-sin(-1.24383369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321182647971903-0.321168063867885)×R²
    abs(-1.45009121--1.45013915)×1.45841040184447e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45841040184447e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45841040184447e-05×40589641000000     		ar = 9624.45563193494m²