Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35285 / 103095
↖ ↑ ↗
← S 71.236406°
W 83.086853°		 ← 98.24 m → S 71.236406°
W 83.084106°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.237289°
W 83.086853°		 ← 98.24 m →
9 651 m²		 S 71.237289°
W 83.084106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269207000732422 y=0.786556243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269207000732422 × 217)
    floor (0.269207000732422 × 131072)
    floor (35285.5)     		tx = 35285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786556243896484 × 217)
    floor (0.786556243896484 × 131072)
    floor (103095.5)     		ty = 103095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35285 / 103095 ti = "17/35285/103095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35285/103095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35285 ÷ 217
    35285 ÷ 131072     		x = 0.269203186035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103095 ÷ 217
    103095 ÷ 131072     		y = 0.786552429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269203186035156 × 2 - 1) × π
    -0.461593627929688 × 3.1415926535     		Λ = -1.45013915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786552429199219 × 2 - 1) × π
    -0.573104858398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.80046201282969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45013915} λ = -1.45013915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80046201282969))-π/2
    2×atan(0.165222535653786)-π/2
    2×0.163743248766724-π/2
    0.327486497533448-1.57079632675     		φ = -1.24330983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45013915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.086853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24330983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.236406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35285 KachelY 103095 -1.45013915 -1.24330983 -83.086853 -71.236406
    Oben rechts KachelX + 1 35286 KachelY 103095 -1.45009121 -1.24330983 -83.084106 -71.236406
    Unten links KachelX 35285 KachelY + 1 103096 -1.45013915 -1.24332525 -83.086853 -71.237289
    Unten rechts KachelX + 1 35286 KachelY + 1 103096 -1.45009121 -1.24332525 -83.084106 -71.237289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24330983--1.24332525) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24330983--1.24332525) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45013915--1.45009121) × cos(-1.24330983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321664126833518 × 6371000     		do = 98.2445039695167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45013915--1.45009121) × cos(-1.24332525) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321649526309103 × 6371000     		du = 98.2400445935428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24330983)-sin(-1.24332525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321664126833518-0.321649526309103)×R²
    abs(-1.45009121--1.45013915)×1.46005244150982e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46005244150982e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46005244150982e-05×40589641000000     		ar = 9651.40158437758m²