Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35284 / 47726
↖ ↑ ↗
← S 63.189064°
E 13.820801°		 ← 275.49 m → S 63.189064°
E 13.826294°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
S 63.191541°
E 13.820801°		 ← 275.47 m →
75 891 m²		 S 63.191541°
E 13.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538398742675781 y=0.728248596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538398742675781 × 216)
    floor (0.538398742675781 × 65536)
    floor (35284.5)     		tx = 35284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728248596191406 × 216)
    floor (0.728248596191406 × 65536)
    floor (47726.5)     		ty = 47726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35284 / 47726 ti = "16/35284/47726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35284/47726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35284 ÷ 216
    35284 ÷ 65536     		x = 0.53839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47726 ÷ 216
    47726 ÷ 65536     		y = 0.728240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53839111328125 × 2 - 1) × π
    0.0767822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24121848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728240966796875 × 2 - 1) × π
    -0.45648193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4340802890336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24121848} λ = 0.24121848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4340802890336))-π/2
    2×atan(0.238334462064235)-π/2
    2×0.233969558727806-π/2
    0.467939117455612-1.57079632675     		φ = -1.10285721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24121848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10285721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.189064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35284 KachelY 47726 0.24121848 -1.10285721 13.820801 -63.189064
    Oben rechts KachelX + 1 35285 KachelY 47726 0.24131435 -1.10285721 13.826294 -63.189064
    Unten links KachelX 35284 KachelY + 1 47727 0.24121848 -1.10290045 13.820801 -63.191541
    Unten rechts KachelX + 1 35285 KachelY + 1 47727 0.24131435 -1.10290045 13.826294 -63.191541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10285721--1.10290045) × R
    4.32399999998889e-05 × 6371000     		dl = 275.482039999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10285721--1.10290045) × R
    4.32399999998889e-05 × 6371000     		dr = 275.482039999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24121848-0.24131435) × cos(-1.10285721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451047906810444 × 6371000     		do = 275.494545163913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24121848-0.24131435) × cos(-1.10290045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45100931470004 × 6371000     		du = 275.47097357486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10285721)-sin(-1.10290045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451047906810444-0.45100931470004)×R²
    abs(0.24131435-0.24121848)×3.85921104036901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85921104036901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85921104036901e-05×40589641000000     		ar = 75890.5525473812m²