Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35284 / 103102
↖ ↑ ↗
← S 71.242589°
W 83.089600°		 ← 98.21 m → S 71.242589°
W 83.086853°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.243472°
W 83.089600°		 ← 98.21 m →
9 642 m²		 S 71.243472°
W 83.086853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269199371337891 y=0.786609649658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269199371337891 × 217)
    floor (0.269199371337891 × 131072)
    floor (35284.5)     		tx = 35284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786609649658203 × 217)
    floor (0.786609649658203 × 131072)
    floor (103102.5)     		ty = 103102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35284 / 103102 ti = "17/35284/103102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35284/103102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35284 ÷ 217
    35284 ÷ 131072     		x = 0.269195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103102 ÷ 217
    103102 ÷ 131072     		y = 0.786605834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.46160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.45018709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786605834960938 × 2 - 1) × π
    -0.573211669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80079757112703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45018709} λ = -1.45018709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80079757112703))-π/2
    2×atan(0.165167103161976)-π/2
    2×0.163689288806013-π/2
    0.327378577612026-1.57079632675     		φ = -1.24341775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45018709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.089600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24341775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.242589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35284 KachelY 103102 -1.45018709 -1.24341775 -83.089600 -71.242589
    Oben rechts KachelX + 1 35285 KachelY 103102 -1.45013915 -1.24341775 -83.086853 -71.242589
    Unten links KachelX 35284 KachelY + 1 103103 -1.45018709 -1.24343316 -83.089600 -71.243472
    Unten rechts KachelX + 1 35285 KachelY + 1 103103 -1.45013915 -1.24343316 -83.086853 -71.243472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24341775--1.24343316) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dl = 98.1771099988975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24341775--1.24343316) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dr = 98.1771099988975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45018709--1.45013915) × cos(-1.24341775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321561940494411 × 6371000     		do = 98.213293631277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45018709--1.45013915) × cos(-1.24343316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321547348903738 × 6371000     		du = 98.2088369838981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24341775)-sin(-1.24343316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321561940494411-0.321547348903738)×R²
    abs(-1.45013915--1.45018709)×1.45915906724636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45915906724636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45915906724636e-05×40589641000000     		ar = 9642.07856205461m²