Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35283 / 47727
↖ ↑ ↗
← S 63.191541°
E 13.815308°		 ← 275.47 m → S 63.191541°
E 13.820801°		 →
↑
275.48 m
↓
↑
275.48 m
↓
S 63.194018°
E 13.815308°		 ← 275.45 m →
75 884 m²		 S 63.194018°
E 13.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538383483886719 y=0.728263854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538383483886719 × 216)
    floor (0.538383483886719 × 65536)
    floor (35283.5)     		tx = 35283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728263854980469 × 216)
    floor (0.728263854980469 × 65536)
    floor (47727.5)     		ty = 47727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35283 / 47727 ti = "16/35283/47727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35283/47727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35283 ÷ 216
    35283 ÷ 65536     		x = 0.538375854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47727 ÷ 216
    47727 ÷ 65536     		y = 0.728256225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538375854492188 × 2 - 1) × π
    0.076751708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24112261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728256225585938 × 2 - 1) × π
    -0.456512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43417616283284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24112261} λ = 0.24112261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43417616283284))-π/2
    2×atan(0.238311613129192)-π/2
    2×0.233947937814587-π/2
    0.467895875629174-1.57079632675     		φ = -1.10290045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24112261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10290045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.191541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35283 KachelY 47727 0.24112261 -1.10290045 13.815308 -63.191541
    Oben rechts KachelX + 1 35284 KachelY 47727 0.24121848 -1.10290045 13.820801 -63.191541
    Unten links KachelX 35283 KachelY + 1 47728 0.24112261 -1.10294369 13.815308 -63.194018
    Unten rechts KachelX + 1 35284 KachelY + 1 47728 0.24121848 -1.10294369 13.820801 -63.194018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10290045--1.10294369) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dl = 275.482040000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10290045--1.10294369) × R
    4.3240000000111e-05 × 6371000     		dr = 275.482040000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24112261-0.24121848) × cos(-1.10290045) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.45100931470004 × 6371000     		do = 275.470973574939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24112261-0.24121848) × cos(-1.10294369) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.450970721746385 × 6371000     		du = 275.447401470839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10290045)-sin(-1.10294369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45100931470004-0.450970721746385)×R²
    abs(0.24121848-0.24112261)×3.85929536549923e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.85929536549923e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.85929536549923e-05×40589641000000     		ar = 75884.0589276509m²