Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35283 / 103093
↖ ↑ ↗
← S 71.234639°
W 83.092346°		 ← 98.23 m → S 71.234639°
W 83.089600°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 71.235522°
W 83.092346°		 ← 98.23 m →
9 650 m²		 S 71.235522°
W 83.089600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269191741943359 y=0.786540985107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269191741943359 × 217)
    floor (0.269191741943359 × 131072)
    floor (35283.5)     		tx = 35283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786540985107422 × 217)
    floor (0.786540985107422 × 131072)
    floor (103093.5)     		ty = 103093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35283 / 103093 ti = "17/35283/103093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35283/103093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35283 ÷ 217
    35283 ÷ 131072     		x = 0.269187927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103093 ÷ 217
    103093 ÷ 131072     		y = 0.786537170410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269187927246094 × 2 - 1) × π
    -0.461624145507812 × 3.1415926535     		Λ = -1.45023502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786537170410156 × 2 - 1) × π
    -0.573074340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.80036613903045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45023502} λ = -1.45023502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80036613903045))-π/2
    2×atan(0.165238376925368)-π/2
    2×0.163758669047619-π/2
    0.327517338095238-1.57079632675     		φ = -1.24327899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45023502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.092346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24327899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.234639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35283 KachelY 103093 -1.45023502 -1.24327899 -83.092346 -71.234639
    Oben rechts KachelX + 1 35284 KachelY 103093 -1.45018709 -1.24327899 -83.089600 -71.234639
    Unten links KachelX 35283 KachelY + 1 103094 -1.45023502 -1.24329441 -83.092346 -71.235522
    Unten rechts KachelX + 1 35284 KachelY + 1 103094 -1.45018709 -1.24329441 -83.089600 -71.235522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24327899--1.24329441) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24327899--1.24329441) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45023502--1.45018709) × cos(-1.24327899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321693327652892 × 6371000     		do = 98.2329275696024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45023502--1.45018709) × cos(-1.24329441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.321678727281449 × 6371000     		du = 98.2284691705398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24327899)-sin(-1.24329441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321693327652892-0.321678727281449)×R²
    abs(-1.45018709--1.45023502)×1.46003714433518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46003714433518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46003714433518e-05×40589641000000     		ar = 9650.26435712928m²