Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35282 / 47664
↖ ↑ ↗
← S 63.035039°
E 13.809814°		 ← 276.99 m → S 63.035039°
E 13.815308°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
S 63.037530°
E 13.809814°		 ← 276.96 m →
76 708 m²		 S 63.037530°
E 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538368225097656 y=0.727302551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538368225097656 × 216)
    floor (0.538368225097656 × 65536)
    floor (35282.5)     		tx = 35282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727302551269531 × 216)
    floor (0.727302551269531 × 65536)
    floor (47664.5)     		ty = 47664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35282 / 47664 ti = "16/35282/47664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35282/47664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35282 ÷ 216
    35282 ÷ 65536     		x = 0.538360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47664 ÷ 216
    47664 ÷ 65536     		y = 0.727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538360595703125 × 2 - 1) × π
    0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24102673} λ = 0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42813611348071))-π/2
    2×atan(0.239755382864583)-π/2
    2×0.235313673316669-π/2
    0.470627346633339-1.57079632675     		φ = -1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35282 KachelY 47664 0.24102673 -1.10016898 13.809814 -63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 35283 KachelY 47664 0.24112261 -1.10016898 13.815308 -63.035039
    Unten links KachelX 35282 KachelY + 1 47665 0.24102673 -1.10021245 13.809814 -63.037530
    Unten rechts KachelX + 1 35283 KachelY + 1 47665 0.24112261 -1.10021245 13.815308 -63.037530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10016898--1.10021245) × R
    4.34699999998234e-05 × 6371000     		dl = 276.947369998875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10016898--1.10021245) × R
    4.34699999998234e-05 × 6371000     		dr = 276.947369998875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24102673-0.24112261) × cos(-1.10016898) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 276.9878662159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24102673-0.24112261) × cos(-1.10021245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.453406774186826 × 6371000     		du = 276.964199054027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10016898)-sin(-1.10021245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.453406774186826)×R²
    abs(0.24112261-0.24102673)×3.87445437187717e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.87445437187717e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.87445437187717e-05×40589641000000     		ar = 76707.7838030932m²