Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35282 / 47634
↖ ↑ ↗
← S 62.960218°
E 13.809814°		 ← 277.70 m → S 62.960218°
E 13.815308°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
S 62.962715°
E 13.809814°		 ← 277.67 m →
77 099 m²		 S 62.962715°
E 13.815308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538368225097656 y=0.726844787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538368225097656 × 216)
    floor (0.538368225097656 × 65536)
    floor (35282.5)     		tx = 35282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726844787597656 × 216)
    floor (0.726844787597656 × 65536)
    floor (47634.5)     		ty = 47634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35282 / 47634 ti = "16/35282/47634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35282/47634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35282 ÷ 216
    35282 ÷ 65536     		x = 0.538360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47634 ÷ 216
    47634 ÷ 65536     		y = 0.726837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538360595703125 × 2 - 1) × π
    0.07672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24102673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.45367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42525989950351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24102673} λ = 0.24102673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42525989950351))-π/2
    2×atan(0.240445963300364)-π/2
    2×0.235966612856025-π/2
    0.47193322571205-1.57079632675     		φ = -1.09886310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24102673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.809814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09886310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.960218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35282 KachelY 47634 0.24102673 -1.09886310 13.809814 -62.960218
    Oben rechts KachelX + 1 35283 KachelY 47634 0.24112261 -1.09886310 13.815308 -62.960218
    Unten links KachelX 35282 KachelY + 1 47635 0.24102673 -1.09890668 13.809814 -62.962715
    Unten rechts KachelX + 1 35283 KachelY + 1 47635 0.24112261 -1.09890668 13.815308 -62.962715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09886310--1.09890668) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dl = 277.648180000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09886310--1.09890668) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dr = 277.648180000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24102673-0.24112261) × cos(-1.09886310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454609041709062 × 6371000     		do = 277.698605949341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24102673-0.24112261) × cos(-1.09890668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.454570224959638 × 6371000     		du = 277.674894680506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09886310)-sin(-1.09890668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454609041709062-0.454570224959638)×R²
    abs(0.24112261-0.24102673)×3.8816749424464e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.8816749424464e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.8816749424464e-05×40589641000000     		ar = 77099.2208472159m²