Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35280 / 47715
↖ ↑ ↗
← S 63.161796°
E 13.798828°		 ← 275.78 m → S 63.161796°
E 13.804321°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
S 63.164276°
E 13.798828°		 ← 275.76 m →
76 058 m²		 S 63.164276°
E 13.804321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538337707519531 y=0.728080749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538337707519531 × 216)
    floor (0.538337707519531 × 65536)
    floor (35280.5)     		tx = 35280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728080749511719 × 216)
    floor (0.728080749511719 × 65536)
    floor (47715.5)     		ty = 47715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35280 / 47715 ti = "16/35280/47715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35280/47715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35280 ÷ 216
    35280 ÷ 65536     		x = 0.538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47715 ÷ 216
    47715 ÷ 65536     		y = 0.728073120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538330078125 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24083498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728073120117188 × 2 - 1) × π
    -0.456146240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43302567724196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24083498} λ = 0.24083498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43302567724196))-π/2
    2×atan(0.2385859449834)-π/2
    2×0.234207510907276-π/2
    0.468415021814552-1.57079632675     		φ = -1.10238130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24083498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.798828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10238130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.161796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35280 KachelY 47715 0.24083498 -1.10238130 13.798828 -63.161796
    Oben rechts KachelX + 1 35281 KachelY 47715 0.24093086 -1.10238130 13.804321 -63.161796
    Unten links KachelX 35280 KachelY + 1 47716 0.24083498 -1.10242459 13.798828 -63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 35281 KachelY + 1 47716 0.24093086 -1.10242459 13.804321 -63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10238130--1.10242459) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dl = 275.800590000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10238130--1.10242459) × R
    4.32900000000291e-05 × 6371000     		dr = 275.800590000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24083498-0.24093086) × cos(-1.10238130) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451472605266643 × 6371000     		do = 275.782709106564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24083498-0.24093086) × cos(-1.10242459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 275.759113477772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10238130)-sin(-1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451472605266643-0.451433977826808)×R²
    abs(0.24093086-0.24083498)×3.86274398355702e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.86274398355702e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.86274398355702e-05×40589641000000     		ar = 76057.7800508182m²