Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3528 / 4568
↖ ↑ ↗
← N 78.152551°
W141.240235°		 ← 250.81 m → N 78.152551°
W141.229248°		 →
↑
250.83 m
↓
↑
250.83 m
↓
N 78.150296°
W141.240235°		 ← 250.86 m →
62 916 m²		 N 78.150296°
W141.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107681274414062 y=0.139419555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107681274414062 × 215)
    floor (0.107681274414062 × 32768)
    floor (3528.5)     		tx = 3528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139419555664062 × 215)
    floor (0.139419555664062 × 32768)
    floor (4568.5)     		ty = 4568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3528 / 4568 ti = "15/3528/4568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3528/4568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3528 ÷ 215
    3528 ÷ 32768     		x = 0.107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4568 ÷ 215
    4568 ÷ 32768     		y = 0.139404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.78466796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46510713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139404296875 × 2 - 1) × π
    0.72119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26568962364233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46510713} λ = -2.46510713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26568962364233))-π/2
    2×atan(9.63776874305284)-π/2
    2×1.46740783256436-π/2
    2.93481566512873-1.57079632675     		φ = 1.36401934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46510713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36401934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3528 KachelY 4568 -2.46510713 1.36401934 -141.240235 78.152551
    Oben rechts KachelX + 1 3529 KachelY 4568 -2.46491538 1.36401934 -141.229248 78.152551
    Unten links KachelX 3528 KachelY + 1 4569 -2.46510713 1.36397997 -141.240235 78.150296
    Unten rechts KachelX + 1 3529 KachelY + 1 4569 -2.46491538 1.36397997 -141.229248 78.150296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36401934-1.36397997) × R
    3.93700000000941e-05 × 6371000     		dl = 250.826270000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36401934-1.36397997) × R
    3.93700000000941e-05 × 6371000     		dr = 250.826270000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46510713--2.46491538) × cos(1.36401934) × R
    0.000191749999999935 × 0.205306616029956 × 6371000     		do = 250.810620426788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46510713--2.46491538) × cos(1.36397997) × R
    0.000191749999999935 × 0.205345147199392 × 6371000     		du = 250.85769161572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36401934)-sin(1.36397997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205306616029956-0.205345147199392)×R²
    abs(-2.46491538--2.46510713)×3.85311694360291e-05×R²
    0.000191749999999935×3.85311694360291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.85311694360291e-05×40589641000000     		ar = 62915.7957513605m²