Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3528 / 2776
↖ ↑ ↗
← N 75.715634°
W102.480469°		 ← 602.84 m → N 75.715634°
W102.458496°		 →
↑
602.95 m
↓
↑
602.95 m
↓
N 75.710211°
W102.480469°		 ← 603.07 m →
363 552 m²		 N 75.710211°
W102.458496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.215362548828125 y=0.169464111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.215362548828125 × 214)
    floor (0.215362548828125 × 16384)
    floor (3528.5)     		tx = 3528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169464111328125 × 214)
    floor (0.169464111328125 × 16384)
    floor (2776.5)     		ty = 2776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3528 / 2776 ti = "14/3528/2776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3528/2776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3528 ÷ 214
    3528 ÷ 16384     		x = 0.21533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2776 ÷ 214
    2776 ÷ 16384     		y = 0.16943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21533203125 × 2 - 1) × π
    -0.5693359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.78862160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16943359375 × 2 - 1) × π
    0.6611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07700998673779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78862160} λ = -1.78862160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07700998673779))-π/2
    2×atan(7.98057119114442)-π/2
    2×1.44614171103983-π/2
    2.89228342207967-1.57079632675     		φ = 1.32148710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78862160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32148710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.715634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3528 KachelY 2776 -1.78862160 1.32148710 -102.480469 75.715634
    Oben rechts KachelX + 1 3529 KachelY 2776 -1.78823810 1.32148710 -102.458496 75.715634
    Unten links KachelX 3528 KachelY + 1 2777 -1.78862160 1.32139246 -102.480469 75.710211
    Unten rechts KachelX + 1 3529 KachelY + 1 2777 -1.78823810 1.32139246 -102.458496 75.710211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32148710-1.32139246) × R
    9.46399999999237e-05 × 6371000     		dl = 602.951439999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32148710-1.32139246) × R
    9.46399999999237e-05 × 6371000     		dr = 602.951439999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78862160--1.78823810) × cos(1.32148710) × R
    0.00038349999999987 × 0.246734601542164 × 6371000     		do = 602.841347153833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78862160--1.78823810) × cos(1.32139246) × R
    0.00038349999999987 × 0.24682631446075 × 6371000     		du = 603.065427355986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32148710)-sin(1.32139246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246734601542164-0.24682631446075)×R²
    abs(-1.78823810--1.78862160)×9.17129185857013e-05×R²
    0.00038349999999987×9.17129185857013e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.17129185857013e-05×40589641000000     		ar = 363551.613369728m²