Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35276 / 47805
↖ ↑ ↗
← S 63.384140°
E 13.776856°		 ← 273.64 m → S 63.384140°
E 13.782349°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 63.386600°
E 13.776856°		 ← 273.61 m →
74 873 m²		 S 63.386600°
E 13.782349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538276672363281 y=0.729454040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538276672363281 × 216)
    floor (0.538276672363281 × 65536)
    floor (35276.5)     		tx = 35276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729454040527344 × 216)
    floor (0.729454040527344 × 65536)
    floor (47805.5)     		ty = 47805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35276 / 47805 ti = "16/35276/47805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35276/47805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35276 ÷ 216
    35276 ÷ 65536     		x = 0.53826904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47805 ÷ 216
    47805 ÷ 65536     		y = 0.729446411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53826904296875 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.24045149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729446411132812 × 2 - 1) × π
    -0.458892822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44165431917357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24045149} λ = 0.24045149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44165431917357))-π/2
    2×atan(0.236536128578095)-π/2
    2×0.232267197122341-π/2
    0.464534394244682-1.57079632675     		φ = -1.10626193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24045149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.776856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10626193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.384140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35276 KachelY 47805 0.24045149 -1.10626193 13.776856 -63.384140
    Oben rechts KachelX + 1 35277 KachelY 47805 0.24054736 -1.10626193 13.782349 -63.384140
    Unten links KachelX 35276 KachelY + 1 47806 0.24045149 -1.10630488 13.776856 -63.386600
    Unten rechts KachelX + 1 35277 KachelY + 1 47806 0.24054736 -1.10630488 13.782349 -63.386600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10626193--1.10630488) × R
    4.2949999999875e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10626193--1.10630488) × R
    4.2949999999875e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24045149-0.24054736) × cos(-1.10626193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.448006586668965 × 6371000     		do = 273.636944016843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24045149-0.24054736) × cos(-1.10630488) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44796818765627 × 6371000     		du = 273.613490369509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10626193)-sin(-1.10630488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448006586668965-0.44796818765627)×R²
    abs(0.24054736-0.24045149)×3.83990126945344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.83990126945344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.83990126945344e-05×40589641000000     		ar = 74873.2858236964m²