Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35273 / 47720
↖ ↑ ↗
← S 63.174194°
E 13.760376°		 ← 275.64 m → S 63.174194°
E 13.765869°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
S 63.176672°
E 13.760376°		 ← 275.61 m →
75 965 m²		 S 63.176672°
E 13.765869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538230895996094 y=0.728157043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538230895996094 × 216)
    floor (0.538230895996094 × 65536)
    floor (35273.5)     		tx = 35273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728157043457031 × 216)
    floor (0.728157043457031 × 65536)
    floor (47720.5)     		ty = 47720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35273 / 47720 ti = "16/35273/47720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35273/47720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35273 ÷ 216
    35273 ÷ 65536     		x = 0.538223266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47720 ÷ 216
    47720 ÷ 65536     		y = 0.7281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538223266601562 × 2 - 1) × π
    0.076446533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24016387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.456298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43350504623816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24016387} λ = 0.24016387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43350504623816))-π/2
    2×atan(0.238471601686951)-π/2
    2×0.234099323063832-π/2
    0.468198646127665-1.57079632675     		φ = -1.10259768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24016387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.760376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10259768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.174194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35273 KachelY 47720 0.24016387 -1.10259768 13.760376 -63.174194
    Oben rechts KachelX + 1 35274 KachelY 47720 0.24025974 -1.10259768 13.765869 -63.174194
    Unten links KachelX 35273 KachelY + 1 47721 0.24016387 -1.10264094 13.760376 -63.176672
    Unten rechts KachelX + 1 35274 KachelY + 1 47721 0.24025974 -1.10264094 13.765869 -63.176672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10259768--1.10264094) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10259768--1.10264094) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24016387-0.24025974) × cos(-1.10259768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451279522074995 × 6371000     		do = 275.636012934846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24016387-0.24025974) × cos(-1.10264094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.451240917179325 × 6371000     		du = 275.612433536709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10259768)-sin(-1.10264094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451279522074995-0.451240917179325)×R²
    abs(0.24025974-0.24016387)×3.86048956695917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86048956695917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86048956695917e-05×40589641000000     		ar = 75964.6433409511m²