Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35271 / 47678
↖ ↑ ↗
← S 63.069891°
E 13.749390°		 ← 276.63 m → S 63.069891°
E 13.754883°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
S 63.072378°
E 13.749390°		 ← 276.60 m →
76 520 m²		 S 63.072378°
E 13.754883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.538200378417969 y=0.727516174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.538200378417969 × 216)
    floor (0.538200378417969 × 65536)
    floor (35271.5)     		tx = 35271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727516174316406 × 216)
    floor (0.727516174316406 × 65536)
    floor (47678.5)     		ty = 47678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35271 / 47678 ti = "16/35271/47678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35271/47678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35271 ÷ 216
    35271 ÷ 65536     		x = 0.538192749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47678 ÷ 216
    47678 ÷ 65536     		y = 0.727508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.538192749023438 × 2 - 1) × π
    0.076385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.23997212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.42947834667007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.23997212} λ = 0.23997212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42947834667007))-π/2
    2×atan(0.239433791106221)-π/2
    2×0.235009540478129-π/2
    0.470019080956259-1.57079632675     		φ = -1.10077725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.23997212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 13.749390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10077725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.069891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35271 KachelY 47678 0.23997212 -1.10077725 13.749390 -63.069891
    Oben rechts KachelX + 1 35272 KachelY 47678 0.24006799 -1.10077725 13.754883 -63.069891
    Unten links KachelX 35271 KachelY + 1 47679 0.23997212 -1.10082067 13.749390 -63.072378
    Unten rechts KachelX + 1 35272 KachelY + 1 47679 0.24006799 -1.10082067 13.754883 -63.072378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10077725--1.10082067) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10077725--1.10082067) × R
    4.34200000001272e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.23997212-0.24006799) × cos(-1.10077725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452903293562029 × 6371000     		do = 276.627792700401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.23997212-0.24006799) × cos(-1.10082067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452864581615179 × 6371000     		du = 276.604147916712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10077725)-sin(-1.10082067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452903293562029-0.452864581615179)×R²
    abs(0.24006799-0.23997212)×3.87119468506225e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.87119468506225e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.87119468506225e-05×40589641000000     		ar = 76519.9494721217m²