Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 35271 / 103111
↖ ↑ ↗
← S 71.250536°
W 83.125305°		 ← 98.17 m → S 71.250536°
W 83.122559°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
S 71.251419°
W 83.125305°		 ← 98.17 m →
9 638 m²		 S 71.251419°
W 83.122559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.269100189208984 y=0.786678314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.269100189208984 × 217)
    floor (0.269100189208984 × 131072)
    floor (35271.5)     		tx = 35271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786678314208984 × 217)
    floor (0.786678314208984 × 131072)
    floor (103111.5)     		ty = 103111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 35271 / 103111 ti = "17/35271/103111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/35271/103111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35271 ÷ 217
    35271 ÷ 131072     		x = 0.269096374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103111 ÷ 217
    103111 ÷ 131072     		y = 0.786674499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.269096374511719 × 2 - 1) × π
    -0.461807250976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.45081027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786674499511719 × 2 - 1) × π
    -0.573348999023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.80122900322361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.45081027} λ = -1.45081027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80122900322361))-π/2
    2×atan(0.165095860141741)-π/2
    2×0.163619936901703-π/2
    0.327239873803407-1.57079632675     		φ = -1.24355645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.45081027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.125305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24355645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.250536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35271 KachelY 103111 -1.45081027 -1.24355645 -83.125305 -71.250536
    Oben rechts KachelX + 1 35272 KachelY 103111 -1.45076233 -1.24355645 -83.122559 -71.250536
    Unten links KachelX 35271 KachelY + 1 103112 -1.45081027 -1.24357186 -83.125305 -71.251419
    Unten rechts KachelX + 1 35272 KachelY + 1 103112 -1.45076233 -1.24357186 -83.122559 -71.251419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24355645--1.24357186) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dl = 98.1771100003122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24355645--1.24357186) × R
    1.5410000000049e-05 × 6371000     		dr = 98.1771100003122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.45081027--1.45076233) × cos(-1.24355645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321430603960456 × 6371000     		do = 98.1731800732049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.45081027--1.45076233) × cos(-1.24357186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.321416011682644 × 6371000     		du = 98.1687232159557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24355645)-sin(-1.24357186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321430603960456-0.321416011682644)×R²
    abs(-1.45076233--1.45081027)×1.45922778125862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45922778125862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45922778125862e-05×40589641000000     		ar = 9638.140318576m²